$ S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ | \ x^2+y^2=1 \text{ and } y\geq 0\}$ ise $nS$'i belirleyin.

Question

$$ S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ | \ x^2+y^2=1 \text{  and  } y\geq 0\}$$ olsun. $$ 2S\overset{\text{tanim}}{=}S+S=\{(x_1+x_2,y_1+y_2) \ | \ (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in S \} $$ ve $$ nS\overset{\text{tanim}}{=}S+S +...+S \text{  n tane.}$$ $nS$'i belirleyin.

Comments

$$nS=\{\left(\sum_{i=1}^nx_i,\sum_{i=1}^n\sqrt{1-x_i^2}\right)| (x_1,y_1),(x_2,y_2),..., (x_i,y_i)\in S\}$$ olacak ancak $$-1\leq x\leq1$$ olmak üzere $$\sum_{i=1}^n\sqrt{1-x_i^2}$$ toplamı nasıl hesaplanır?

---

kolaycana hesaplanabilir mi, o da var. Lakin alabilecegi degerlerin araligi hesaplanabilir. isin bir de geometrisi var. Her bir noktaya yarim cember ekliyoruz. $(0,0)$'dan baslayarak. Burdan bir sey cikar demiyorum ama sorunun gozumdeki manasi bu.

---

Bence bizim yarım çembere ait herhangi n tane noktanın apsisler toplamı ile ordinatlar toplamı olan değeri düşünmeliyiz. Belkide yarım çemberin her bir noktasını bir yer vektörünün bitimi gibi alsak ve n tane yer vektörünü toplasak, acaba bir şey elde edebilirmiyiz? Cevabın: $n\rightarrow\infty$ için, $(-1,0)$ noktasından başlayan ve $(1,0)$ noktasında biten, $y\geq0$ bölgesindeki bir yarı elips yayı olduğunu söylemek mümkün gibi.