Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi
Düzlemde rastgele iki doğru seçelim ve her biri üzerinde üç tane farklı ardışık nokta işaretleyelim: A,B,C ve A,B,C. Sonra bu noktaları şu şekilde karşılıklı birbirine bağlayarak 3 yeni nokta bulalım: p1=ABAB, p2=ACAC ve p3=BCBC.

p1, p2 ve p3'ten her zaman tek bir doğru geçtiğini gösterebilir misiniz?
Akademik Matematik kategorisinde (145 puan) tarafından  | 1.7k kez görüntülendi
Bu Pappus ün Teoremi değil mi?
Evet ta kendisi. Sorunun gizemini artırır diye umarak hiç bahsetmeyeyim dedim.
Burada (ben de, bu teorem ile ilk karşılaştığımda öyle düşünmüştüm, daha sonra anladım) "ardışık" (sıralı) gereksiz.

Nedense (benim gördüğüm) şekillerde hep öyle çizilir.

Bu teorem, projektif geometrinin bir (ilk) teoremidir, oysa projektif geometride bir doğru üzerindeki noktaların ardışık olması anlamlı değil (projektif dönüşümler tarafından korunmaz)

(Projektif geometride düşünüldüğünde, bazı doğru çiftlerinin kesişmemesi durumunda da benzer bir sonuç ortaya çıkıyor.)
Bu teoremin duali ne acaba ? (Noktalari dogru, dogrulari nokta yapinca ayni sekli elde ettim )

Duali yine kendisi (self dual)

Wikipedia

@DoganDonmez: Teşekkür ederim, dediğiniz gibi gerçekten fark etmemiştim ben de sıralamanın önemsiz olduğunu.

@eloi: Bir devam sorusu olarak aynı teoremin konik üstündeki noktalar için olan versiyonunu (Pascal teoremi) yazmak istiyordum, o da ilginç duruyor üstüne düşünmek için.

Biz (muyendizler olarak) projektif geometriyi "computer vision" dersinde isimize yarayacak kadarini gorduk. Boyle guzel teoremlerin varligindan haberdar degildim. Hem @DoganDonmez hem de @awesome hocalarimizin paylastiklari linkleri okudum. Cok guzel teoremler. @lokman gokce hocamizin ve @awesome hocamizin verdikleri ispat arasindaki yaklasim farki da cok hosuma gitti. @awesome hocam Pascal Teoremini de paylasirsaniz guzel olur bence. Belki gene saf sentetik geometri ve biraz daha "agir makina" kullanilarak yapilan ispatlar goruruz site zenginlesir
Bir de, bu noktaların hiç birinin, doğruların kesişme noktası olmaması gerekiyor.

'Noktaların doğrusallığı' kavramının duali 'doğruların noktadaşlığı' olduğundan, Pappus teoreminin duali aşağıdaki şekildeki renkli üç doğrunun U noktasında noktadaş olması demek oluyor. Fakat bu da başladığımız Pappus teoremi figürüne dönüşmüş durumdadır. Pappus teoreminin dualini alarak aynı teoremi tekrar elde etmiş oluyoruz.

Soru daha önce sitede https://matkafasi.com/39652/pappus-teoreminin-ispatlari bağlantısında sorulup yanıtlamış.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Pappus Teoremi: Varsayalım ki, {A,B,C} ve {A,B,C} nokta grupları, farklı iki doğru üzerinde doğrudaş olan altı farklı nokta olsun.O zaman D=ABAB , E=ACAC ve F=BCBC noktaları da doğrusaldır.

 

İspat: AB,BC,CA doğrularının meydana getirdiği üçgen PQR olsun. Bu üçgende sırasıyla ADB,CEA,BFC kesenleri için Menelaus teoremi uygulayalım. ARAPDPDQBQBR=1

CQCREREPAPAQ=1
BPBQFQFRCRCP=1
Bu üç ifadeyi çarparsak, (ARAPCQCRBPBQ)(BQBRAPAQCRCP)(DPDQEREPFQFR)=1
olur. Burada ilk iki parantezdeki çarpımlar 1'e eşittir çünkü A,B,C ve A,B,C noktaları doğrusaldır. O halde üçüncü parantezdeki ifade de 1'e eşit olup bu D,E,F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterir.

 

Not: İspatta Menelaus teoremi ve Karşıt Menelaus teoremi kullanılmıştır. Yazım ve çizim için Erhan Erdoğan'a teşekkürler.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir de projektif geometriyi kullanarak çözmeye çalışalım.

Projektif uzay

Sorudaki iki boyutlu düzlemi bir R3 uzayı içine yerleştirelim. Ayrıca bu uzayda orijinden çıkan tek bir ışın üzerinde yer alan bütün noktaları birbirine denk kabul edelim, bir başka deyişle bir t0 için (x,y,z)t(x,y,z) olsun. Bu kabulle ve orijin noktasını hariç tutarak elde ettiğimiz uzaya "projektif uzay" diyeceğiz ve P2 olarak kısaltacağız.
Başlangıçtaki düzlemi R3 içine, örneğin z=1 düzlemine yerleştirebiliriz. Büyük uzayda artık düzlemdeki her bir (x,y) noktası için tek bir ışın (denklik sınıfı) ve ışın üzerinde sonsuz sayıda t(x,y,1) noktası olacaktır.

R2deki herhangi bir doğruyu ax+by+c=0 diye ifade ettiğimizi hatırlayalım. Bu denklemi yeni koordinat sisteminde l=(a,b,c) ve p=(x,y,1) iki vektör olmak üzere l,p=ilipi=0 şeklinde yazabilirdik. Böylelikle R2deki her doğru için şimdi R3te orijinden geçen düzlemler elde ettik. Bu yazım şeklinin çok kullanışlı birkaç özelliği var:

(1) R3 içindeki genel lineer dönüşümler, veya kısaca GL(3,R), altında değerinin değişmemesi, düzlemleri (doğru denklemlerini) başka düzlemlere (doğru denklemlerine) götürmesi.

 (2) R3 içindeki bir ölçek değişimi altında (pitpi) doğru denklemini sağlayan bir p noktası için l,tp=tl,p=0 olması.

(3) Doğru denklemini sağlamayan bir q noktası için l,q0l,tq0 ilişkisini koruması. Dolayısıyla p hep doğru üzerinde kalırken q'nun hep dışında kalması.

Yani derdimiz bir soruda verilen noktaların arasındaki mesafe değil de, hangilerinin aynı doğru üzerinde yer aldığı sorusu ise, bunun yanıtını R3te (aslında P2de) aramayı deneyebiliriz.

Biraz tensör cebiri egzersizi

ϵijk tam antisimetrik Levi-Civita tensörü olsun ve yeni bir işlem tanımlayalım: xyz=ϵijkxiyjzk. 3 boyutta bir Λ lineer dönüşümü altında xyzdetΛxyz olduğunu gözlemleyin.

Şimdi biraz üzerinde oynayarak ikna olabileceğiniz iki iddia: 

(i) R2de bir doğruya denk düşen 3 boyutlu bir l vektörünü o doğru üzerindeki iki farklı nokta belirler: li=ϵijkxjyk çünkü l,x=l,y=0.

(ii) R2de iki farklı doğrunun kesişim noktası: xi=ϵijkljmk çünkü l,x=m,x=0.

Demek ki sorumuz l(p1p2),p3=p1p2p3 değerini hesaplamakla çözülebilir:

p1p2p3=BACAACABCBBCBACAACABCBBC=0

İlk eşitlikte ϵijk tensorünün özelliklerini, son eşitlikte ABC doğrusu üzerinde yer almayan herhangi bir q noktası için qAB=qAC=qBC olduğunu kullandık*.

(*) Ek düzenleme: Sonuncu özellik ilk bakışta açıkça görünmüyor, çünkü aslında doğru eşitlik bir k0 için qAB=kqAC. Ama projektif uzayda q noktasını temsil etmek için qi yerine 1kqi koordinatlarını da kullanabileceğimizden k'yı ortadan kaldırabiliriz.

(145 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,362 kullanıcı