Bir de projektif geometriyi kullanarak çözmeye çalışalım.
Projektif uzay
Sorudaki iki boyutlu düzlemi bir R3 uzayı içine yerleştirelim. Ayrıca bu uzayda orijinden çıkan tek bir ışın üzerinde yer alan bütün noktaları birbirine denk kabul edelim, bir başka deyişle bir t≠0 için (x,y,z)∼t(x,y,z) olsun. Bu kabulle ve orijin noktasını hariç tutarak elde ettiğimiz uzaya "projektif uzay" diyeceğiz ve P2 olarak kısaltacağız.
Başlangıçtaki düzlemi R3 içine, örneğin z=1 düzlemine yerleştirebiliriz. Büyük uzayda artık düzlemdeki her bir (x,y) noktası için tek bir ışın (denklik sınıfı) ve ışın üzerinde sonsuz sayıda t(x,y,1) noktası olacaktır.
R2deki herhangi bir doğruyu ax+by+c=0 diye ifade ettiğimizi hatırlayalım. Bu denklemi yeni koordinat sisteminde l=(a,b,c) ve p=(x,y,1) iki vektör olmak üzere ⟨l,p⟩=∑ilipi=0 şeklinde yazabilirdik. Böylelikle R2deki her doğru için şimdi R3te orijinden geçen düzlemler elde ettik. Bu yazım şeklinin çok kullanışlı birkaç özelliği var:
(1) R3 içindeki genel lineer dönüşümler, veya kısaca GL(3,R), altında değerinin değişmemesi, düzlemleri (doğru denklemlerini) başka düzlemlere (doğru denklemlerine) götürmesi.
(2) R3 içindeki bir ölçek değişimi altında (pi→tpi) doğru denklemini sağlayan bir p noktası için ⟨l,tp⟩=t⟨l,p⟩=0 olması.
(3) Doğru denklemini sağlamayan bir q noktası için ⟨l,q⟩≠0⟹⟨l,tq⟩≠0 ilişkisini koruması. Dolayısıyla p hep doğru üzerinde kalırken q'nun hep dışında kalması.
Yani derdimiz bir soruda verilen noktaların arasındaki mesafe değil de, hangilerinin aynı doğru üzerinde yer aldığı sorusu ise, bunun yanıtını R3te (aslında P2de) aramayı deneyebiliriz.
Biraz tensör cebiri egzersizi
ϵijk tam antisimetrik Levi-Civita tensörü olsun ve yeni bir işlem tanımlayalım: ⟨xyz⟩=ϵijkxiyjzk. 3 boyutta bir Λ lineer dönüşümü altında ⟨xyz⟩→detΛ⟨xyz⟩ olduğunu gözlemleyin.
Şimdi biraz üzerinde oynayarak ikna olabileceğiniz iki iddia:
(i) R2de bir doğruya denk düşen 3 boyutlu bir l vektörünü o doğru üzerindeki iki farklı nokta belirler: li=ϵijkxjyk çünkü ⟨l,x⟩=⟨l,y⟩=0.
(ii) R2de iki farklı doğrunun kesişim noktası: xi=ϵijkljmk çünkü ⟨l,x⟩=⟨m,x⟩=0.
Demek ki sorumuz ⟨l(p1p2),p3⟩=⟨p1p2p3⟩ değerini hesaplamakla çözülebilir:
⟨p1p2p3⟩=⟨B′AC′⟩⟨AA′C⟩⟨A′BC′⟩⟨BB′C⟩−⟨BA′C⟩⟨A′AC′⟩⟨AB′C⟩⟨B′BC⟩=0
İlk eşitlikte
ϵijk tensorünün özelliklerini, son eşitlikte
ABC doğrusu üzerinde yer almayan herhangi bir
q noktası için
⟨qAB⟩=⟨qAC⟩=⟨qBC⟩ olduğunu kullandık*.
(*) Ek düzenleme: Sonuncu özellik ilk bakışta açıkça görünmüyor, çünkü aslında doğru eşitlik bir k≠0 için ⟨qAB⟩=k⟨qAC⟩. Ama projektif uzayda q noktasını temsil etmek için qi yerine 1kqi koordinatlarını da kullanabileceğimizden k'yı ortadan kaldırabiliriz.