Belli uzunluktaki bir doğru parçasını gören açıların ölçüleri ile ilgili bir soru

Question

$|AB|=|AC|$ olmak üzere $ABC$ ikizkenar üçgenini düşünelim. $A$ noktasından $BC$ 'ye çizilen paralel doğru üzerinde $A$'dan farklı ve hareketli bir nokta $P$  ve $m(\angle BPC)=\alpha$, $\angle BAC=\theta$ olsunlar. Bu verilerle;

 $P$ noktası $A$ dan farklı iken daima $\alpha<\theta$ olduğunu, $A$ ile $P$ çakışınca  $\alpha=\theta$ olduğunu nasıl gösterebiliriz.  Dolayısıyla  $P$ noktası $A$ noktasından uzaklaştıkça $m(\angle BPC)=\alpha$  değerinin giderek küçüldüğünü  ya da $A$ ya yaklaştıkça giderek büyüdüğünü, maksimum  değerinin $\theta$  olduğunu nasıl gösterebiliriz acaba?

Comments

Doğan hocam,sizin yukarıda verdiğiniz $tan\alpha\frac{a.y}{\frac{a^2}{4}-x^2-y^2}$ formülü, ben (bir kaç kez çözdüm ) $tan\alpha\frac{a.y}{x^2+y^2-\frac{a^2}{4}}$ olarak buluyorum. Bir işaret hatası var gibi.  Bir de $0<\alpha<\pi$ olmalı değil mi?

---

Her iki formül de "doğru". Açının yönü nedeniyle oluşuyor bu işaret farkı, ciddi birşey değil.

$P$, bu doğru parçasını çap kabul eden çemberin dışında ise ($x^2+y^2-\frac14a^2>0$ olması), açı dar olmalı:

$y>0$ ise benim yazdığım formülde $\tan\alpha<0$, sizin yazdığınız formülde $\tan\alpha>0$ oluyor (sadece işareti farklı)

$y<0$ ise benim yazdığım formülde $\tan\alpha>0$, sizin yazdığınız formülde $\tan\alpha<0$ oluyor (sadece işareti farklı)

$P$ bu doğru parçasının iç noktası ise, $\alpha=\pm\pi$; $P$, doğru parçasının uzantısı üzerinde ise $\alpha=0$ oluyor ("dejenere" durumlar)

EK: Aslında bu durumu düzeltmek çok kolaymış:

$\tan\alpha=\frac{a|y|}{x^2+y^2-\frac14a^2}$ yöne bakmaksızın doğru değeri veriyor

Sadece $\tan\alpha=0$ iken $-\frac a2< x<\frac a2$ ise $\alpha=\pi$ , $|x|>\frac a2$ ise $\alpha=0$ oluyor.

Answer 1

Üçgenin çevrel çemberini çizelim.A dan geçen BC ye paralel doğru bu çembere teğet olur. Bu doğru üzerindeki başka bir P noktasından (P ile C, A dan çizilen dikmenin aynı tarafında iken) PB nin çemberi kestiği diğer nokta D olsun. (Dış açı > komşu olmayan açı  dan) $\angle BDC>\angle BPC=\alpha$ olur. Ayrıca (aynı yayı gördükleri için) $\theta=\angle BAC=\angle BDC$ dir.

Bu ikisinden $\angle BAC=\theta>\alpha=\angle BPC$ elde edilir.

P diğer tarafta ise PC ile çemberin kesim noktasına D dersek aynı eşitsizlik elde edilir.

EK: Aslında çevrel çemberin dışında kalan her P noktası için bu eşitsizlik (aynı mantık ile) doğru olur

Comments

Bir doğru parçasını aynı açı ile gören noktaları geometrik yeri doğru parçasının uçlarından geçen bir çemberdir.

Çemberin içindekiler daha büyük bir açı ile, çemberin dışındakiler daha küçük bir açı ile görür.

---

Doğan Hocam ellerinize sağlık.  Güzel bir çözüm. Ben de  özel olarak üçgeni eşkenar olarak ve $|PA|$ 'yı eşkenar üçgenin bir kenarı kadar alarak göstermiştim. o zaman $2\alpha=\theta$ oluyor.  Burada $P$ noktası $A$ dan uzaklaştıkça $\alpha$ 'nın giderek küçüldüğü ancak asla sıfırlanmıyacağı açık.

Bu durumda $\alpha$'nın alacağı değerleri bir fonksiyon olarak yazabilir miyiz?

---

Çubuğun uzunluğu $a$ olsun ve $x$ ekseni üzerinde, uçları $-\frac a2$ ve $\frac a2$ koordinatlı noktalara gelecek şekilde yerleştirelim (koordinat eksenlerini seçelim).

Bir $P(x,y)$ noktasının, bu doğru parçasını gördüğü açı $\alpha$ ise, $\tan\alpha=\frac{ay}{\frac14a^2-x^2-y^2}$ oluyor sanırım.

Bu eşitlikten, $\alpha$ açısı ($0\leq\alpha<\pi$ olduğunu da kullanarak) bulunabilir.

---

Kosinüs teoremi ile de $\cos\alpha$ bulunabiliyor ama o zaman kareköklü çıkıyor.

Kompleks sayılarla da bulunabilir.