Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
584 kez görüntülendi

 (X,τ) bir topolojk uzay, AX olsun.

EK: χA:XY={0,1}

χA(x)={1,xA0,xA fonksiyonuna, A kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.

Y={0,1} kümesi üzerinde  4 farklı topoloji vardır:

τ1={,Y}, τ2={,{0},Y}, τ3={,{1},Y}, τ4={,{0},{1},Y}

Aşağıdaki, noktalar yerine (çift gerektirme doğru olacak şekilde)  hangi (hepsi farklı ve kısa) ifadenin eklenmesi gerektiğini bulunuz.

Y üzerinde τ1 topolojisi için: χA süreklidir Adir

Y üzerinde τ2 topolojisi için: χA süreklidir Adir

Y üzerinde τ3 topolojisi için: χA süreklidir Adir

Y üzerinde τ4 topolojisi için: χA süreklidir Adir

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 584 kez görüntülendi
Varis kumemde hangi topoloji var hocam ?
τ4 topolojisi ayrik topoloji oldugu icin ve ayrik topolojiden cikan her fonksiyon surekli oldugu icin son durumda. A nin ne oldugu farketmemeli.

τ1 topolojisinde surekli fonksiyonlarin on goruntusu bos kume zada tum uzay olmali. Sanirim buradan A nin tum uzay yada bos kume oldugu cikiyor gibime geldi.

aradaki iki uzay icin ise sanirim {0}A ve {1}A sartlari gerekiyor.

Cevaplarimdan emin degilim ama sanirim karakteristik fonksiyonun surekliliginin, topolojik sinirla (boundry nin cevirisi bu mu ?) alakasi var.
χA:XY yazmayı unutmuşum, ama tahmin edilebiiyor herhalde.

@eloi:

τ1 ve τ4  için tahminini yeniden düşün. Verilen topoloji, HEDEF uzayın topolojisi.

{0}A ve {1}A anlamlı değil.

(Öyle de yapılabilir ama) Sınır kümesini düşünmeye gerek yok,  daha basit düşün.

Hmm evet Y varis kumesiymis. Soyle seyler yaptim

ilk basta butun olasi A lari ve karakteristik fonksiyonlari yazdim

 

A0={},fA0=[0010]

A1={0}.fA1=[0110]

A2={1},fA2=[0011]

A3={0,1},fA3=[0111]

 

fA0 goruntu kumesinin 0 dan olustugunu goruyoruz. eger goruntu kumemiz uzerindeki topolojide {0} acik bir kumeyse, f_\{A_0\} surekli olacak. τ2 icin bu gecerli

benzer bir mantikla fA3 fonksiyonunun goruntu kumesi uzerinde τ3 topolojisi olursa surekli oldugunu goruruz.

  Ben soruyu cok yanlis anlamisim

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

I. DURUM: τ1={,Y} olsun.

χA(x)={1,xA0,xA

kuralı ile verilen χA:(X,τ)(Y,τ1)
fonksiyonunun sürekli olması için (Tτ1)(χ1A[T]τ)
yani χ1A[]=τ
 ve  χ1A[Y]=Xτ
olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ1) sürekli olması için gerek ve yeter koşul AX olmasıdır.

 

 

II. DURUM: τ2={,Y,{0}} olsun.

χA(x)={1,xA0,xA

kuralı ile verilen χA:(X,τ)(Y,τ2)
fonksiyonunun sürekli olması için (Tτ2)(χ1A[T]τ)
yani χ1A[]=τ
 ve  χ1A[Y]=Xτ
ve χ1A[{0}]=Aτ
olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ2) sürekli olması için gerek ve yeter koşul AC(X,τ) yani A kümesinin kapalı olmasıdır.

 

 

III. DURUM: τ3={,Y,{1}} olsun.

χA(x)={1,xA0,xA

kuralı ile verilen χA:(X,τ)(Y,τ3)
fonksiyonunun sürekli olması için (Tτ3)(χ1A[T]τ)
yani χ1A[]=τ
 ve  χ1A[Y]=Xτ
ve χ1A[{1}]=Aτ
olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ3) sürekli olması için gerek ve yeter koşul Aτ yani A kümesinin açık olmasıdır.

 

 

IV. DURUM: τ4={,Y,{0},{1}} olsun.

χA(x)={1,xA0,xA

kuralı ile verilen χA:(X,τ)(Y,τ4)
fonksiyonunun sürekli olması için (Tτ4)(χ1A[T]τ)
yani χ1A[]=τ
 ve  χ1A[Y]=Xτ
ve χ1A[{0}]=Aτ
ve χ1A[{1}]=Aτ
olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ4) sürekli olması için gerek ve yeter koşul AτC(X,τ) yani hem açık hem de kapalı olmasıdır.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,995 kullanıcı