I. DURUM: τ1={∅,Y} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A
kuralı ile verilen
χA:(X,τ)→(Y,τ1)
fonksiyonunun sürekli olması için
(∀T∈τ1)(χ−1A[T]∈τ)
yani
χ−1A[∅]=∅∈τ
ve
χ−1A[Y]=X∈τ
olmalıdır. Dolayısıyla
χA, (τ-τ1) sürekli olması için gerek ve yeter koşul
A⊆X olmasıdır.
II. DURUM: τ2={∅,Y,{0}} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A
kuralı ile verilen
χA:(X,τ)→(Y,τ2)
fonksiyonunun sürekli olması için
(∀T∈τ2)(χ−1A[T]∈τ)
yani
χ−1A[∅]=∅∈τ
ve
χ−1A[Y]=X∈τ
ve
χ−1A[{0}]=∖A∈τ
olmalıdır. Dolayısıyla
χA, (τ-τ2) sürekli olması için gerek ve yeter koşul
A∈C(X,τ) yani
A kümesinin kapalı olmasıdır.
III. DURUM: τ3={∅,Y,{1}} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A
kuralı ile verilen
χA:(X,τ)→(Y,τ3)
fonksiyonunun sürekli olması için
(∀T∈τ3)(χ−1A[T]∈τ)
yani
χ−1A[∅]=∅∈τ
ve
χ−1A[Y]=X∈τ
ve
χ−1A[{1}]=A∈τ
olmalıdır. Dolayısıyla
χA, (τ-τ3) sürekli olması için gerek ve yeter koşul
A∈τ yani
A kümesinin açık olmasıdır.
IV. DURUM: τ4={∅,Y,{0},{1}} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A
kuralı ile verilen
χA:(X,τ)→(Y,τ4)
fonksiyonunun sürekli olması için
(∀T∈τ4)(χ−1A[T]∈τ)
yani
χ−1A[∅]=∅∈τ
ve
χ−1A[Y]=X∈τ
ve
χ−1A[{0}]=∖A∈τ
ve
χ−1A[{1}]=A∈τ
olmalıdır. Dolayısıyla
χA, (τ-τ4) sürekli olması için gerek ve yeter koşul
A∈τ∩C(X,τ) yani hem açık hem de kapalı olmasıdır.