Processing math: 1%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
583 kez görüntülendi

 (X,τ) bir topolojk uzay, A olsun.

EK: \chi_A:X\to Y=\{0,1\}

\chi_A(x)=\begin{cases} 1, & x\in A\\0, &x\notin A\end{cases} fonksiyonuna, A kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.

Y=\{0,1\} kümesi üzerinde  4 farklı topoloji vardır:

\tau_1=\{\varnothing,Y\},\ \tau_2=\{\varnothing,\{0\},Y\},\ \tau_3=\{\varnothing,\{1\},Y\},\ \tau_4=\{\varnothing,\{0\},\{1\},Y\}

Aşağıdaki, noktalar yerine (çift gerektirme doğru olacak şekilde)  hangi (hepsi farklı ve kısa) ifadenin eklenmesi gerektiğini bulunuz.

Y\text{ üzerinde }\tau_1\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}

Y\text{ üzerinde }\tau_2\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}

Y\text{ üzerinde }\tau_3\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}

Y\text{ üzerinde }\tau_4\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 583 kez görüntülendi
Varis kumemde hangi topoloji var hocam ?
\tau_4 topolojisi ayrik topoloji oldugu icin ve ayrik topolojiden cikan her fonksiyon surekli oldugu icin son durumda. A nin ne oldugu farketmemeli.

\tau_1 topolojisinde surekli fonksiyonlarin on goruntusu bos kume zada tum uzay olmali. Sanirim buradan A nin tum uzay yada bos kume oldugu cikiyor gibime geldi.

aradaki iki uzay icin ise sanirim \{0\} \in A ve \{1\} \in A sartlari gerekiyor.

Cevaplarimdan emin degilim ama sanirim karakteristik fonksiyonun surekliliginin, topolojik sinirla (boundry nin cevirisi bu mu ?) alakasi var.
\chi_A:X\to Y yazmayı unutmuşum, ama tahmin edilebiiyor herhalde.

@eloi:

\tau_1 ve \tau_4  için tahminini yeniden düşün. Verilen topoloji, HEDEF uzayın topolojisi.

\{0\}\in A ve \{1\}\in A anlamlı değil.

(Öyle de yapılabilir ama) Sınır kümesini düşünmeye gerek yok,  daha basit düşün.

Hmm evet Y varis kumesiymis. Soyle seyler yaptim

ilk basta butun olasi A lari ve karakteristik fonksiyonlari yazdim

 

A_0 = \{\}  , f_{A_0}= \begin{bmatrix}0\to0\\1\to0 \end{bmatrix} 

A_1 = \{0\} . f_{A_1} = \begin{bmatrix}0\to1\\1\to0\end{bmatrix}

A_2 = \{1\} , f_{A_2} = \begin{bmatrix} 0 \to 0 \\ 1 \to 1 \end{bmatrix}

A_3=\{0,1\} ,f_{A_3} = \begin{bmatrix} 0\to 1 \\ 1 \to 1\end{bmatrix}

 

f_{A_0} goruntu kumesinin 0 dan olustugunu goruyoruz. eger goruntu kumemiz uzerindeki topolojide \{0\} acik bir kumeyse, f_\{A_0\} surekli olacak. \tau_2 icin bu gecerli

benzer bir mantikla f_{A_3} fonksiyonunun goruntu kumesi uzerinde \tau_3 topolojisi olursa surekli oldugunu goruruz.

  Ben soruyu cok yanlis anlamisim

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

I. DURUM: \tau_1=\{\emptyset,Y\} olsun.

\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_1) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_1)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve  \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_1) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\subseteq X olmasıdır.

 

 

II. DURUM: \tau_2=\{\emptyset,Y,\{0\}\} olsun.

\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_2) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_2)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve  \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{0\}]=\setminus A\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_2) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\in\mathcal{C}(X,\tau) yani A kümesinin kapalı olmasıdır.

 

 

III. DURUM: \tau_3=\{\emptyset,Y,\{1\}\} olsun.

\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_3) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_3)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve  \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{1\}]=A\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_3) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\in\tau yani A kümesinin açık olmasıdır.

 

 

IV. DURUM: \tau_4=\{\emptyset,Y,\{0\},\{1\}\} olsun.

\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_4) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_4)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve  \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{0\}]=\setminus A\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{1\}]=A\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_4) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\in\tau\cap \mathcal{C}(X,\tau) yani hem açık hem de kapalı olmasıdır.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,948 kullanıcı