I. DURUM: \tau_1=\{\emptyset,Y\} olsun.
\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_1) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_1)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_1) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\subseteq X olmasıdır.
II. DURUM: \tau_2=\{\emptyset,Y,\{0\}\} olsun.
\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_2) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_2)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{0\}]=\setminus A\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_2) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\in\mathcal{C}(X,\tau) yani A kümesinin kapalı olmasıdır.
III. DURUM: \tau_3=\{\emptyset,Y,\{1\}\} olsun.
\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_3) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_3)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{1\}]=A\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_3) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\in\tau yani A kümesinin açık olmasıdır.
IV. DURUM: \tau_4=\{\emptyset,Y,\{0\},\{1\}\} olsun.
\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases} kuralı ile verilen \chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_4) fonksiyonunun sürekli olması için (\forall T\in\tau_4)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau) yani \chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau ve \chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{0\}]=\setminus A\in\tau ve \chi_A^{-1}[\{1\}]=A\in\tau olmalıdır. Dolayısıyla \chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_4) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A\in\tau\cap \mathcal{C}(X,\tau) yani hem açık hem de kapalı olmasıdır.