p=1 için eşitsizliğin doğru olduğu bariz.
p>1 durumunu inceleyelim. zi:=xi+yi diyelim.
|zi|p=|xi+yi|p=|xi+yi|⋅|xi+yi|p−1≤(|xi|+|yi|)⋅|zi|p−1=|xi|⋅|zi|p−1+|yi|⋅|zi|p−1
⇒∑∞i=1|zi|p≤∑∞i=1(|xi|⋅|zi|p−1+|yi|⋅|zi|p−1)=∑∞i=1|xi|⋅|zi|p−1+∑∞i=1|yi|⋅|zi|p−1Hölder Eşitsizliği≤(∑∞i=1|xi|p)1/p⋅(∑∞i=1(|zi|p−1)q)1/q+(∑∞i=1|yi|p)1/p⋅(∑∞i=1(|zi|p−1)q)1/q=[(∑∞i=1|xi|p)1/p+(∑∞i=1|yi|p)1/p]⋅(∑∞i=1(|zi|p−1)q)1/q=[(∑∞i=1|xi|p)1/p+(∑∞i=1|yi|p)1/p]⋅(∑∞i=1|zi|pq−q⏟p)1/q
⇒∑∞i=1|zi|p(∑∞i=1|zi|p)1/q≤(∞∑i=1|xi|p)1/p+(∞∑i=1|yi|p)1/p
⇒(∞∑i=1|zi|p)1−1q=(∞∑i=1|zi|p)1p≤(∞∑i=1|xi|p)1/p+(∞∑i=1|yi|p)1/p.