Analitik(Elementer) olmayan bir integral

Question

$$\displaystyle\int \cos(x^2)\mathrm{dx}$$ integralini çözünüz.

Comments

Cevabını 1-2 saat sonra ekleyeceğim.

---

$cos(x^2)$'nin taylor serisini yazarım sonra integralini alırım

---

Daha yaygın olarak "Elementer olmayan" deniyor.

---

@Dogan Donmez parantez içine ekliyorum hocam.

---

@sametoytun Doğru. İsterseniz ekleyebilirsiniz.

---

Fresnel integrali degil mi bu? Optikte kullandiydik

---

elementer (analitik olmayan ) 'ten kasıt nedir?

---

$ \int dx e^{x^2} $, $\int dx \sqrt{1-x^4}$, $\int dx sinc(x)$, $\int dx \frac{e^x}{x}$  vb. gibi anti turevleri sonlu miktarda toplama carpma, cikarma, bolme,logaritma exponensiyel ve trigonometrik islemler kullanilarak ifade edilemeyen integrallere deniyor sanirim

---

@eloi benim bildiğim de o tanımdır. Elementer Fonksiyon = Esas Elementer fonksiyonlardan sonlu sayıda aritmetik işlem ve bileşik fonksiyon oluşturma kurallarının uygulanması ile elde edilip, $y=f(x)$ eşitliği ile ifade edilebilen her fonksiyona denir.

---

@eloi dediğinize baktım "Fresnel" integraliymiş, haberim yoktu. Teşekkürler.

Answer 1

$$\displaystyle\large\cos(x)=\displaystyle\large\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$$\displaystyle\large\cos(x^2)=\displaystyle\large\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{4n}}{(2n)!}$$

$$\displaystyle\large\int \left( \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \dfrac{x^{4n}}{(2n)!}\right)\mathrm{dx}=\displaystyle\int \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{4n}\mathrm{dx}$$

$$\displaystyle\large \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)} \hspace{1cm} \blacksquare .$$

 

Not: İntegral ve serinin yer değiştirmesi benim adıma bir typodur. Altına gelen yorumların bildirimini alamadığım ve soruya daha sonra geri dönmediğim için gözümden kaçmış. Özür diliyorum.(Eğer değiştiriliyorsa da haberim yok.)

Comments

Integral ile toplam neden yer değiştirebildi?

---

Fubini-Tonelli demek isterdim ama yeterince guclu degil galiba. Baskin yakinsaklik teoremi (dominated convergence theorem) gerekiyor olabilir

---

aynen o ikisi neden yer değiştirebildi?

---

Su soru da konuyla alakali diye birakiveriyim.

---

Orada limit ile integral yer değiştirmesi yok mu?

---

"Sonsuz toplam" derken kastettiğimiz şey sonlu toplamların limiti @sametoytun