Bernoulli Sayılarının Türetilmesi

Question

Bernoulli Sayılarını $\dfrac{x}{e^x-1}$'den yararlanarak bulunuz. (Bernoulli Sayılarını başka nasıl bulabiliriz? Rekürsiv hal, kapalı hal vs.)

Answer 1

Öncelikle, $f(x) \cdot p(x) = 1$ olacak şekilde bir toplam bulmalıyız. Burada $f(x)=e^x-1$ olacak ve çarpım da:

 

$$(e^x-1) \cdot p(x) = x$$ olacak kolayca görülebileceği gibi $$p(x)=\dfrac{x}{e^x-1}$$ O halde işe girişelim:

 

Öncelikle $e^x$'i Maclaurin serisi cinsinden $(a=0)$ yazalım.

$$e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$$ ve ayrıca $$e^x-1 = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{(n+1)!}$$ . $$p(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}c_{i} \cdot x^i$$ olsun. Şimdi Cauchy Seri çarpımı yapmalıyız.

$$(1) \hspace{1cm} \dfrac{e^x-1}{x}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{(n+1)!} \cdot \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \mathrm{C}_{i} \cdot x^i = 1$$

 

$$\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}\left( \displaystyle\sum_{k=0}^{i} \dfrac{x^k}{(k+1)!} \cdot \mathrm{C}_{i-k} \cdot x^{i-k} \right)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}\left( \displaystyle\sum_{k=0}^{i} \dfrac{\mathrm{C}_{i-k}}{(k+1)!}  \right)\cdot x^{i-k}$$

Şimdi sadece katsayıları alacağız bunun için de:

 

$\displaystyle\sum_{k=0}^{i} \dfrac{\mathrm{C_{i-k}}}{(k+1)!}=\mathrm{1}$ almamız yeterlidir. Şimdi $\mathrm{i=4}$'e kadar yazalım.

 

$$i=0, \qquad \displaystyle\sum_{k=0}^{0} = \frac{\mathrm{C_{0}}}{1!}=1$$

$$i=1, \qquad \displaystyle\sum_{k=0}^{1} = \frac{\mathrm{C_{1}}}{1!}+\frac{\mathrm{C_{0}}}{2!}=0$$

$$i=2, \qquad \displaystyle\sum_{k=0}^{2} = \frac{\mathrm{C_{2}}}{1!}+\frac{\mathrm{C_{1}}}{2!}+\frac{\mathrm{C_{0}}}{3!}=0$$

$$i=3, \qquad \displaystyle\sum_{k=0}^{3} = \frac{\mathrm{C_{3}}}{1!}+\frac{\mathrm{C_{2}}}{2!}+\frac{\mathrm{C_{1}}}{3!}+\frac{\mathrm{C_{0}}}{4!}=0$$

$$i=4, \qquad \displaystyle\sum_{k=0}^{4} = \frac{\mathrm{C_{4}}}{1!}+\frac{\mathrm{C_{3}}}{2!}+\frac{\mathrm{C_{2}}}{3!}+\frac{\mathrm{C_{1}}}{4!}+\frac{\mathrm{C_{0}}}{5!}=0$$

Şimdi bu terimleri daha kolay hesap edebilmek için alt üçgen matrise yazacağız:

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \bigm| & 1 \\ \frac{1}{2!} & 1 & 0 & 0 & 0\bigm| & 0 \\ \frac{1}{3!}  & \frac{1}{2!}  & 1 & 0 & 0 \bigm| & 0 \\ \frac{1}{4!}  & \frac{1}{3!}  & \frac{1}{2!}  & 1 & 0\bigm| & 0 \\ \frac{1}{5!}  & \frac{1}{4!}  & \frac{1}{3!}  & \frac{1}{2!}  & 1\bigm| & 0  \end{bmatrix}$$ . Buradan da:

$$\mathrm{C_{0}}=1, \quad \mathrm{C_{1}}=\dfrac{-1}{2}, \quad \mathrm{C_{2}}=\dfrac{1}{12}, \quad \mathrm{C_{3}}=0, \quad \mathrm{C_{4}}=\dfrac{-1}{720}$$

Sonuçta ise:

 

$$\dfrac{x}{e^x-1}=1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{x^4}{720}+...$$