$\displaystyle\int_0^1(-1)^xdx$ integralinin sonucu nedir, neden?

Question

Aklıma hiçbir şey gelmedi.

Comments

Önce şunları düşünmemiz gerekmez mi?

$(-1)^{\frac1{2}}=?,(-1)^{\frac34}=?, (-1)^{\sqrt2}=?,\ (-1)^{\pi}=?,\ $

---

Bir hayırsever kompleks integral serisi paylaşsa ufak ufak, dizi gibi, çok sevaba girer bence.

---

Aslında Doğan hocam ipucunu vermiş. Ben de şunları ilave edeyim. Fonksiyonların integralinden bahsederiz. Dolayısıyla öncelikle şu soruya yanıt vermen gerekir. $$\beta=\{(x,(-1)^x)|x\in [0,1]\}$$ bağıntısı bir fonksiyon mudur?

---

$e^{i \pi}$

---

(1) Kompleks integrale giremiyor muyuz?
(2) Girebiliyorsak nasıl girebiliyoruz?

Answer 1

$a^x$ ifadesi, eğer $x$ bir tamsayı değilse, sadece pozitif $a$'lar için tanımlanır, dolayısıyla sorunuz anlamlı değildir. $a>0$ iken $a^x$ ifadesi iki türlü tanımlanabilir:

1. Doğal Tanım: $n, m \in \mathbb{N}$ ve $m\neq 0$ ise $a^{n/m}$ ifadesi şöyle tanımlanır: $a^{n/m}=y \iff a^n = y^m$. Bu tanımın $n$ ve $m$'nin seçiminden bağımsız olduğunu, sadece $n/m$'ye göre değiştiğini göstermek gerekir, ki eğer $a<0$ ise bu doğru değildir. Şimdi eğer $x$ bir reel sayıysa, $x$'e yakınsayan bir $(q_n)_n$ kesirli sayısı seçin ve $a^x = \lim_{n\rightarrow \infty} a^{q_n}$ tanımını yapın. Bu limitin, $x$'e yakınsayan $(q_n)_n$ kesirli sayı dizisinden bağımsız olduğunu göstermek gerekir.

2. Sofistike Tanım: $a^x = \exp(x \ln a)$. Burada da eğer $a \leq 0$ ise, $\ln a$ diye bir sayı olmadığından, illa ki $a$'yı 0'dan büyük seçmek gerekir.

Answer 2

Mathematica soyle hesapliyor..

Comments

$-1=e^{i\pi}$ yapıp karmaşık integral olarak alma tam olarak bu.

Answer 3

$$\int_{0}^{1} (-1)^x \,dx$$ belirli integralini hesaplamak için önce $$\int (-1)^x \,dx$$ belirsiz integrali hesaplayalım $$\int (a)^x \,dx\,=\ \frac{a^x}{lna}$$ eşitliği yardımıyla $$\int (-1)^x \,dx\,=\ \frac{(-1)^x}{ln(-1)}$$ olacaktır. Reel sayılar kümesinde negatif sayının logaritması tanımsızdır bu nedenle sonuç tanımsızdır.