Başka bir çözüm:
Önce, U∩R≠∅ olduğunu gösterelim. Bunun için U nun (U≠∅ ve ¯U=U oluşunu ve) bağlantılı olmasını (bunu ileride bir kez daha kullanacağız) kullanacağız.
U∩R=∅ ise U=U1∪U2,U1={z∈U:Imz>0}, U2={z∈U:Imz<0} ve bu kümeler ayrık, açık ve boştan farklı olup, U nun bağlantılı olması ile çelişirdi.
∅≠U∩R, R de açık olacağı için (C de) ayrık olamaz.
Şimdi de, ¯f(ˉz) nin U da analitik olduğunu gösterelim.
(her zamanki gibi) f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)(x,y∈R) olarak yazalım.
Kompleks Analizdeki Teoremlerden, u ve v harmonik fonksiyonlardır ve Cauchy-Riemann (C-R) eşitliklerini sağlarlar:
ux=vy, uy=−vx .
¯f(ˉz)=¯f(x−iy)=u(x,−y)−iv(x,−y)=A(x,y)+iB(x,y)
(A(x,y)=u(x,−y), B(x,y)=−v(x,−y) olmak üzere)
A ve B nin (U da) harmonik fonksiyonlar olduğu ve (U nun her noktasında) Ax=By, Ay=−Bx olduğu (zincir Kurallarından) kolayca görülür.
Öyleyse, ¯f(ˉz), U bölgesinde analitik bir fonksiyondur.
f(z)−¯f(ˉz), U da analitik bir fonksiyon ve U∩R kümesinde (f(U∩R)⊂R olduğu için) 0 a eşittir.
Bu küme (U∩R), yukarıda belirtildiği gibi, ayrık değildir (her noktası, kendisinin bir yığılma noktasıdır), U bağlantılı olduğu için, f(z)−¯f(ˉz), U da sabit 0 fonksiyonudur (çünki kökleri ayrık değil)
(Teorem: Bağlantılı bir bölgede, sabit 0 olmayan analitik fonksiyonların kökleri (=sıfırları) ayrıktır.)
(NOT: U bağlantılı değilse (U∩R≠∅ olsa bile), bu iddia doğru olmak zorunda değildir)