Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

UC ve  ¯U={ˉz:zU}=U şeklinde bir bölge (boş olmayan, açık ve bağlantılı küme) olsun.

f:UC (kompleks) analitik bir fonksiyon ve f(UR)R olsun. (ˉz: z nin eşleniği)

 zU için f(ˉz)=¯f(z) olur mu?

Akademik Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi
Öceki soru ile şu yönden ilgil:

G=Z2={e,a} ve C üzerinde, az=ˉz şeklinde etkiyor olmak üzere, böyle bir f ekivaryant mıdır?

EK:  Aslında Lisansüstü düzeyde bir bilgiye gerek yok.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Belki bir miktar sezgisel olacak ama:

¯U=U bölgesi reel sayıların boş olmayan bir alt kümesini içermeli. Bu kümeden bir x0 reel sayısı seçelim ve f fonksiyonunun bu nokta etrafında, xR olmak üzere seri açılımını yazalım: f(x)=n=0an(xx0)n. Eğer f(¯x)=f(x)=¯f(x) olsun istiyorsak, iki tarafın seri açılımlarının kuvvetlerini eşitleyerek nN için an=¯an olması gerektiği görülür - yani f(x) reel değerler almalıdır. f(z) ayrıca analitik olduğundan bu sonucu bir zU için analitik devam ettirip f(¯z)=¯f(z) ifadesinin geçerliliğini koruyabiliriz.

Kısaca f(z)|zUR:RR özelliğinde olabilen analitik f(z)'ler için eşitlik sağlanır.
(145 puan) tarafından 
Aynı şekilde z0R etrafındaki seri açılımı üzerinden tanımlanabilecek f(z) analitik fonksiyonu ekivaryanttır, yani f(az)=an(¯zz0)n=¯an¯(zz0)n=af(z)f|R reel.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Başka bir çözüm:

Önce, UR olduğunu gösterelim. Bunun için U nun (U ve ¯U=U oluşunu ve) bağlantılı olmasını (bunu ileride bir kez daha kullanacağız)  kullanacağız.

UR= ise U=U1U2,U1={zU:Imz>0}, U2={zU:Imz<0}  ve bu kümeler ayrık, açık ve boştan farklı olup, U nun bağlantılı olması ile çelişirdi.

UR, R de açık olacağı için (C de) ayrık olamaz.

Şimdi de, ¯f(ˉz) nin U da analitik olduğunu gösterelim.

(her zamanki gibi) f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)(x,yR) olarak yazalım.

Kompleks Analizdeki Teoremlerden, u ve v harmonik fonksiyonlardır ve Cauchy-Riemann (C-R) eşitliklerini sağlarlar:

ux=vy, uy=vx .

¯f(ˉz)=¯f(xiy)=u(x,y)iv(x,y)=A(x,y)+iB(x,y)

(A(x,y)=u(x,y), B(x,y)=v(x,y)  olmak üzere)

A ve B nin (U da) harmonik fonksiyonlar olduğu ve (U nun her noktasında) Ax=By, Ay=Bx olduğu (zincir Kurallarından) kolayca görülür.

Öyleyse, ¯f(ˉz), U bölgesinde analitik bir fonksiyondur.

f(z)¯f(ˉz), U da analitik bir fonksiyon ve UR kümesinde (f(UR)R olduğu için)  0 a eşittir.

Bu küme (UR), yukarıda belirtildiği gibi, ayrık değildir (her noktası, kendisinin bir  yığılma noktasıdır), U bağlantılı olduğu için, f(z)¯f(ˉz), U da sabit 0 fonksiyonudur (çünki kökleri ayrık değil)

(Teorem: Bağlantılı bir bölgede, sabit 0 olmayan analitik fonksiyonların kökleri (=sıfırları) ayrıktır.)

(NOT: U bağlantılı değilse (UR olsa bile), bu iddia doğru olmak zorunda değildir)
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Bunun daha genel şekline,  Schwarz Yansıma İlkesi deniyor.

20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,932 kullanıcı