Question

$(f\circ g)(x)$ bileşik fonksiyonu $a$'da sürekli ise $g(x)$'in de $a$'da sürekli olduğunu ispatlayınız.

Bolzano-Cauchy Teoremini kullanarak ispatlamaya çalıştım ama ilerletemedim:

Her $\varepsilon>0$ için öyle $\delta>0$ sayıları vardır ki:

$\mid x-a\mid <\delta\implies \mid(f\circ g)(x)-(f\circ g)(a)\mid<\varepsilon$

Bundan sonrasını getiremedim yardımcı olur musunuz?

Comments

İstenen doğru olmadığından olabilir mi? Mesela $f(x)=x^2$ olsun. Ters örnek olabilecek bir $g(x)$ bulabilir misin?

---

Evet doğru olmadığı için ispatlanamıyormuş. İspatlamaya girişmeden önce doğruluğunu çok sorgulamamıştım.

$$f(x):=x^2$$ ve $$g(x):=\left\{\begin{array}{ccc} x & , & x\neq 2 \\ -2 & , & x=2 \end{array}\right.$$ kuralları ile verilen $f$ ve $g$ fonksiyonları için $f\circ g$ fonksiyonu, $2$'de sürekli oluyor ama $g$ fonksiyonu, $2$'de sürekli değil.

Ama Zincir Kuralı İspatı-Ezber bozuyoruz-1- sorusuna verilen cevaplarda (Doğan Hocanın cevabında) $f(g(x))$'in $x$'de türevlenebilir olduğu bilgisiyle $g(x)$'in $x$'de sürekli olduğu çıkarımı yapılmış.(Öncesinde $g(x)$'in $x$'de türevlenebilir olduğu söylenmiş.) Sorudaki bileşke fonksiyonunun $x$'de türevlenebilir olmasının gerektirdiği başka bir durum olduğu için mi bu çıkarım yapılabiliyor yoksa başka bir nokta mı var ben anlayamadım.