$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olmak üzere $$\cup_{A\in\mathcal{A}}\delta\text{-}cl(A) \subseteq\delta\text{-}cl(\cup\mathcal{A})$$ olduğunu gösteriniz.

Question

$A, \text{regüler açık}: \iff A=int(cl(A))$

$RO(X):=\{A | (A \subseteq X)(A ,\text{regüler açık})\}$

$\delta\text{-}cl(A):={ x | (  \forall U \in RO(X,x))( U \cap A \neq \emptyset )\ }$ bildiğindiğine göre

 

$(X,\tau) \text{ topolojik uzay ve } \mathcal{A}\subseteq 2^X  \text{ olmak üzere}$

$\cup_{A\in\mathcal{A}}\delta\text{-}cl(A) \subseteq\delta\text{-}cl(\cup\mathcal{A})$

olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$x\in \cup_{A\in\mathcal{A}}\delta\text{-} cl(A)$ olsun (Amacımız $x\in \delta\text{-}cl(\cup \mathcal{A})$ olduğunu göstermek)

$x\in \cup_{A\in\mathcal{A}}\delta\text{-}cl(A) \Rightarrow (\exists A\in \mathcal{A})(x \in \delta\text{-}cl(A))$

                                      $\Rightarrow (\exists A\in \mathcal{A})(\forall U\in RO(X,x))(U \cap A \neq \emptyset)$

                                      $\Rightarrow  (\forall U\in RO(X,x)) (\exists A\in \mathcal{A})(U \cap A \neq \emptyset)$

                                      $\Rightarrow  (\forall U\in RO(X,x)) ((\bigcup \mathcal{A} ) \cap U \neq \emptyset)$

                                      $\Rightarrow x\in \delta\text{-}cl(\cup \mathcal{A}).$