Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
8.9k kez görüntülendi

x=x(t),y=y(t)(at b) parametrik denklemleriyle verilmiş eğrinin uzunluğunun hesaplanmasını formülünü ifade ediniz  ve x=cost,y=sint,(0xπ/8) eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız.


Lisans Matematik kategorisinde (19 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 8.9k kez görüntülendi

Kurallara uygun olarak yazarsanız çabucak cevap alırsınız. Matematiksel ifâdeleri iki adet dolar işareti arasına yazarsanız ve sin cos gibi operatörlerin başına \ işareti eklerseniz pi sayısı için \pi ve küçük ve büyük eşit için \leq ve \geq yazarsanız güzel olur.


yeniden düzenlendi.

Elinize sağlık! Cevap aşağıdadır.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eğrimizin parametrik denklemi c(t)=(x(t),y(t)) olsun.Bu eğrinin yay uzunluğu S=ba||c(t)||dt

ile verilir. t parametresini ( x değil)  0 ile π/8  arasında verdiğinizi kabül ediyoruz.

c(t)=(cost,sint) eğriniz için  ||c(t)||=1 olup eğri birim hızlıdır.O zaman

S=π/80dt=t|π/80=π/8 bulunur.

(3.4k puan) tarafından 

Arkadaş zaten o "ile verilir" dediğiniz formülün çıkarımını istiyor.

Formülü ifade edin deyince "kanıt" değil de formulün kendisini anlıyorum ben.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eğrinin parametik denklemi x=x(t),y=y(t),atb olsun. İşe "uzunluk diferansiyel elemanı"nı oluşturarak başlayacağız. 

Düzlemde eğrinin (xx+dx,yy+dy)'lik kısmına yeterince odaklanalım. Bu parçayı dik kenarları dx,dy olan diküçgenin hipotenüsü almak mümkündür. Bu parçanın uzunlupğu ds olsun. O hâlde, ds2=dx2+dy2 Pisagor teoremi sağlanır. dx=˙xdt ve dy=˙ydy diferansiyelleri alınırsa, ds2=(˙xdt)2+(˙ydt)2=(˙x2+˙y2)dt2 elde edilir. İfâdenin karekökü alınırsa, ds=˙x2+˙y2dt elde edilir. Bunu [a,b] aralığında integre edersek, 

s(a,b)=ba˙x2+˙y2dt bulunur.

Sizin sorunuzda x(t)=cost,y(t)=sint,0tπ/8 verilmiş. Küçük bir hesapla, ˙x2+˙y2=1 olduğu görülür. Buradan integralin sonucu.  

s(0,π8)=π/801dt=π8 buluruz.

Önemli noktalar: 

1-Verilen parametrik denklemler (x(t),y(t)), verilen aralıkta diferansiyellenebilir olmalıdır. 

2-Ayrıca, ˙x2+˙y2 integrand ifâdesi de verilen aralıkta integrallenebilir olmalıdır.  

(1.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Bu arada kanıtta verilen formül düzlemsel eğrilere ilaveten uzay eğrileri için de çalışır.

Haklısınız, z(t) koordinatının ilâvesiyle...   

20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,236 kullanıcı