Eğrinin parametik denklemi x=x(t),y=y(t),a≤t≤b olsun. İşe "uzunluk diferansiyel elemanı"nı oluşturarak başlayacağız.
Düzlemde eğrinin (x−x+dx,y−y+dy)'lik kısmına yeterince odaklanalım. Bu parçayı dik kenarları dx,dy olan diküçgenin hipotenüsü almak mümkündür. Bu parçanın uzunlupğu ds olsun. O hâlde, ds2=dx2+dy2 Pisagor teoremi sağlanır. dx=˙xdt ve dy=˙ydy diferansiyelleri alınırsa, ds2=(˙xdt)2+(˙ydt)2=(˙x2+˙y2)dt2 elde edilir. İfâdenin karekökü alınırsa, ds=√˙x2+˙y2dt elde edilir. Bunu [a,b] aralığında integre edersek,
s(a,b)=∫ba√˙x2+˙y2dt bulunur.
Sizin sorunuzda x(t)=cost,y(t)=sint,0≤t≤π/8 verilmiş. Küçük bir hesapla, ˙x2+˙y2=1 olduğu görülür. Buradan integralin sonucu.
s(0,π8)=∫π/801⋅dt=π8 buluruz.
Önemli noktalar:
1-Verilen parametrik denklemler (x(t),y(t)), verilen aralıkta diferansiyellenebilir olmalıdır.
2-Ayrıca, √˙x2+˙y2 integrand ifâdesi de verilen aralıkta integrallenebilir olmalıdır.