Obeb, Okek Problem Sorusu

Question

Bir fayans ustası, boyutları 12cm x 7cm olan dikdörtgen biçiminde fayansları kullanarak aşağıdaki gibi kaplama yapacaktır.

 Fayanslardan aynı şekilde bir sıra yatay, bir sıra dikey kullanarak kare şeklinde bir bölge kaplanacaktır. Buna göre, bu karenin bir kenar uzunluğu en az kaç cm olabilir ? ( A-)540 B-)672 C-)1024 D-)1512 E-)1596 ) Cevap B

Hocalarım ben şöyle düşündüm. Ekok(7,12)=84 cm dir. Karenin kenar uzunluğu 84k cm olacaktır. Şıklardan direk A ve C şıklarını eledim. Bir yatay bir dikey şekilde dizilecekleri için uzunluk kısmında n tane yatay , n-1 dikey olsun. Toplam toplam 19n-12 tane fayans kullanılmıştır. Fayansların toplam alanı (19n-12).84 cm dir. Karenin toplam alanı 84k.84k cm dir. (19n-12).84=84k.84k. 19n-12=84k^2 19n=12(7k^2 +1). Hocalarım uzunlukta n tane yatay n tane dikeyde olmak üzere toplam 19n tane sütun olsun. Bu sütunların toplam alanı 84.19n olsun. 84.19n=84.84.k^2 19n=84k^2 şeklinde iki denklem kuruyorum. Hocalarım deneme yaparak cevaba ulaşabiliyorum ancak çok uzun sürüyor. Benim kaçırdığım daha pratik bir yöntem varsa yardım eder misiniz ?

Comments

$(19n-12)\cdot 84k$ olmalı değil mi? $k$ çarpanını unutmuşsunuz herhalde. O zaman, $19n-12=84k$ olmaz mı? Aklıma birşey geldi yazarken. Aşağı doğru dizerken belki dik şekilde bitecek (yan, $n$ yatay, $n$ dikey), olamaz mı? Bu durumda eşitlik $19n=84k$ olur. Bu iki denklemden daha kolay olan ikincisinden $n=84, k=19$ ve $84k=1596$ bulunur.

İkincisindense, $19n=84k+12=12(7k+1)\Rightarrow n=12p, (7k+1)=19p$ olmalıdır. Örneğin $7k+1=19p$, $p=3$ için doğru oluyor ($k=8, n=36$ demektir. $p=1,2$ nin doğru olmadığı hemen görülür.).