Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
793 kez görüntülendi
x ve y ye göre türevini aldım.

xy1f(t)dt=yx1f(t)dt+xy1f(t)dt 

iki çıkan denklemi birbirinden çıkararak,

(xy)f(xy)=x1f(t)dty1f(t)dt

denklemini elde ettim ve buradan

f(xy)=f(x) buldum, ama getiremedim sonucu? belki başka bir şekilde çıkıyordur bilmiyorum.

cevap: 3+3logx 
Lisans Matematik kategorisinde (621 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 793 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

x>0y>0 ve f fonksiyonunun sürekli olduğunu varsayacağız.

F(x)=x1f(t)dt dersek,

F(xy)=yF(x)+xF(y) olur. Burada x>0y>0 için 

F(xy)xy=F(x)x+F(y)y;

F(x)x=G(x) dersek, G(xy)=G(x)+G(y) bulunur. 

x>0 ve y>0 varsayıldığından, x=eu ve y=ev olacak şekilde u,vR vardır. Denklemde yerlerine koyarsak,

G(eu+v)=G(eu)+G(ev) olur.

H(t)=G(et)(tR) dersek H(u+v)=H(u)+H(v) bulunur. H sürekli fonksiyon olduğundan, yukarıdaki Cauchy denkleminin çözümü,

H(u)=cu, (c sabit) şeklindedir. Adım adım geriye gidersek,

G(et)=ct eşitliğinden, G(x)=clnxx>0

ve buradan da F(x)=cxlnxx>0  olur. Böylece,

x1f(t)dt=cxlnx,  x>0  elde edilir.

Türev alırsak, f sürekli olduğundan, 

f(x)=(cxlnx)=c(1+lnx) olur. f(1)=3 şartından, c=3 bulunur.

(623 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

çok teşekkürler zaman ayırdığınız için. çok güzel bir çözüm olmuş

20,328 soru
21,885 cevap
73,615 yorum
2,975,131 kullanıcı