x>0, y>0 ve f fonksiyonunun sürekli olduğunu varsayacağız.
F(x)=∫x1f(t)dt dersek,
F(xy)=yF(x)+xF(y) olur. Burada x>0, y>0 için
F(xy)xy=F(x)x+F(y)y;
F(x)x=G(x) dersek, G(xy)=G(x)+G(y) bulunur.
x>0 ve y>0 varsayıldığından, x=eu ve y=ev olacak şekilde u,v∈R vardır. Denklemde yerlerine koyarsak,
G(eu+v)=G(eu)+G(ev) olur.
H(t)=G(et), (t∈R) dersek H(u+v)=H(u)+H(v) bulunur. H sürekli fonksiyon olduğundan, yukarıdaki Cauchy denkleminin çözümü,
H(u)=cu, (c sabit) şeklindedir. Adım adım geriye gidersek,
G(et)=ct eşitliğinden, G(x)=clnx, x>0
ve buradan da F(x)=cxlnx, x>0 olur. Böylece,
∫x1f(t)dt=cxlnx, x>0 elde edilir.
Türev alırsak, f sürekli olduğundan,
f(x)=(cxlnx)′=c(1+lnx) olur. f(1)=3 şartından, c=3 bulunur.