Bir konveks polihedranin uzerindeki noktaya en uzak nokta

Question

Elimizde simetrik konveks bir polihedra olsun. Uzerinde $p_1$ adli bir nokta secelim. Soyle bir iddiam var ama nasil ispatlarim bilmiyorum.

$p1$ e polihedranin yuzeyi uzerindeki en uzak nokta $p_1$ in antipodudur. Uzakliga bakarken sadece polihedranin yuzeyinde hareket edebilecegimizi dusunmemiz lazim geliyor.

(aslinda polihedra yerine baska cisimler de dusunebiliriz kure gibi mesela)

Edit: Simetrik sartini unutmustum

Comments

Nasıl bir simetriden bahsediyoruz?

---

polihedranin merkezine gore noktasal simetri

---

Bir kare ve kenarında, köşe olmayan bi nokta alalım. Antipodal nokta en uzak nokta değil.

---

 

$BCDE$ karesinde $F$ noktasina en uzak nokta $F^{\prime}$ degil mi ?

---

D daha uzak.

---

sadece karenin kenarlarinda hareket edince $F$ den $D$ ye gitmek icin $FC$ ve $CD$ yolunu kullanmam gerekiyor. $F$ den $F^{\prime}$ a gitmek icin ise $FC$ , $CD$ ve $DF^{\prime}$ yolunu kullanmam gerek. Bu durumda $F^{\prime}$ faha uzak degil mi ?

---

O zaman tamam.

Ben "yüzey üzerinde hareket etmek" şeklinde düşünmedim.

İlginç bir soru. İspatı basit olmayabilir.

Answer 1

3- boyutlu uzayda $S=\{(x,y,z):x^2+y^2+{z^2\over 9}=1\}$ dönel elipsoid yüzeyini düşünelim.

Orijine göre simetrikdir.

$(1,0,0)$ noktasının antipodali $(-1,0,0)$ olup, (yüzey üzerinden) aradaki uzaklık $\pi$ dir.

(Bunu, Diferansiyel Geometri ile gösterebiliriz: $x^2+y^2=1,\ z=0$ çemberi yüzey üzerindedir ve parametrize edildiğinde normali yüzey dik olduğundan "jeodezik"dir.)

Oysa $(0,0,3)$ noktasının $(1,0,0)$ noktasına yüzey üzerinden uzaklığı (uzaydaki uzaklık olan) $\sqrt{10}$ dan büyüktür ve $\sqrt{10}>\pi$ dir.

(Düzlem eğrileri için doğru olabilir mi?)

Comments

Polihedra olmadi gicir yuzey oldu ama elipsoidi yontarsak herhalde bir polihedra icin de gecerli olur bu karsi ornek.

---

Dediğin doğru. Her pürüzsüz yüzeye, istendiği kadar "yakın" polihedron oluşturabiliriz.

Aşağıdaki polihedron o yüzeye "yakın"

---

Resmi gorunce aklima bir soru daha geldi. Simetrik konveks bir polihedra uzerindeki ekstrem noktaya en uzak nokta gene bir ektrem nokta midir?

Edit: galiba bu da dogru degil