Question

3 ile bölünebilen 7 basamaklı kaç tane polidrom sayı vardır ?

Hocalarkm kitaptaki çözümü alttaki gibidir.

Soldan ilk kutucuğa {1,2,...,9} rakamlarından biri 9 farklı, ikinci ve üçüncü kutulara {0,1,2,...,9} rakamlarından biri 10 farklı şekilde yazılabilir. Ortadaki kutucuğa da 10 farklı rakam yazdığımızda 9000 farklı sayı yazılabilir. Bunlardan 9000:3=3000 tanesi 3 ile bölünebilen polidrom sayı olur.

Soldan ilk dört basamağın belirttiği dört basamaklı 9000 sayı ardışık sayılar olduğundan bu 9000 sayının 3 te biri 3 ile bölünür diyoruz.

Hocalarım benim anlamadığım sondaki cümledir. Çünkü ilk 4 basamağın 3 ün katı olsa bile son 3 basamak 3 ün katı olmayabilir. Eğer yanlış anladıysam ne demek istediğini anlatabilir misiniz ? Hocalarım başka çözüm yolu var mıdır?

Comments

Demek istediği 9000 tane polindrom sayı var. (diğer  basamakları da katabilirsin sonuçta ayna simetirsi)
Sonraki iddiası bu sayıların 3 ile bölünme altında homejen gibi davranması.

Sence homejen mi?

---

Hocam 3 ile bölünme altında türdeş davranması ile neyi kasttettiniz ? Ben o kısmı anlayamadım.

Answer 1

Biraz uzun ama eksiksiz çözüm. (yazmış olduğun çözümde açıklanması gereken adımlar var)

İstenen sayıları, önce son üç basamağını kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulup, daha sonra, ortadaki rakamı, sayımız 3 e bölünecek şekilde seçerek oluşturduğumuzu düşünelim.

Palindrom sayının son (en sağdaki) üç rakamından oluşan sayı (soldaki 0 ları da yazarsak) 001 ile 999 arasında son rakamı 0 olmayan sayılar ($9\times10\times10=900$ farklı durum) olur.

Bunların 300 tanesi 3 e tam bölünür. Rakamları toplamı da 3 e tam bölünür.

(Bunu şöyle görebiliriz: 001 ile 999 arasında, 3e tam bölünen 333 tane var. Sonu 0 ile bitenler: (sağdaki 0 ı yazmayınca: 01,02,..,99) 99 tane, bunlarda 33 tanesi 3 e tam bölünür. Onları atıyoruz, geriye 333-33=300 tane kalıyor.)

300 tanesinin 3 e bölümünden kalan 1 olur. Rakamları toplamı da, 3 e bölündüğünde 1 kalanı verir.

(Bu da aynı şekilde bulunuyor)

300 tanesinin 3 e bölümünden kalan 2 olur. Rakamları toplamı da, 3 e bölündüğünde 2 kalanı verir.

(Bu da aynı şekilde bulunuyor)

Baştaki (soldaki) 3 rakamı bunların aynısı (tersine sırada)  olacağı için:

300 tanesinde ilk 3 ve son 3 rakamların toplamı da 3 e tam bölünür. (0+0=0)

300 tanesinde ilk 3 ve son 3 rakamların toplamı da 3 e  bölündüğünde 2 kalır. (1+1=2)

300 tanesinde ilk 3 ve son 3 rakamların toplamı da 3 e  bölündüğünde 1 kalır. ($2+2\equiv1 \mod3$)

(sanırım Sercan ın "simetri " ile kastettiği bu üçünün eşit sayıda olması)

Her bir durum için, sayının 3 e bölünebilmesi için, ortadaki rakamı kaç şekilde seçebileceğimizi bulalım:

İlk durumda ortadaki rakam: 0,3,6,9 olabilir (4 durum)

İkinci durumda ortadaki rakam: 1,4,7 olabilir (3 durum)

Üçüncü durumda ortadaki rakam: 2,5,8 olabilir (3 durum)

Toplam durum sayısı:

$300\times4+300\times3+300\times3=300\times10=3000$

 

Comments

Hocam çok teşekkür ederim. Elinize sağlık.