13+23+33+...+n3 için ılgınç bir ispat daha.
Idda : 13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2 .
Bunu kanıtı orta okul gördüğümüz geometri ve cebırsel ifadeleri özelıkleri kulanarak çok değışık şeklinde ispatlamaya çalışırız.
Şekıl1(K)
Bu karenın yanı K nin alanı hesaplayalım . Bunun için iki yolumuz var.
1. yol : K nin bir kenarı 1+2+3+...+n olduğunu görmek çok kolay dolaysıyla
Alan(K)=(1+2+3+...+n)2 olur ...(1)
2. yol : K alanı Gj şekilerin Alanları toplamasina eşıt olur ; yani Alan(K)=G1+G2+...+Gn dır..
Dıkkatlı şeklinde bakarsak Gj alanları aşağıdakı şeklinde hesapşanabilir :
G1=12−02=1
G2=(1+2)2−12
G3=(1+2+3)2−(1+2)2
...
Böylece keyfi bir j≤n için :
Gj=(1+2+3+...+j)2−(1+2+3+...+(j−1))2 olur.
Öte yanda ; 1+2+...+n=n(n+1)2 Yani:
Gj=(j(j+1)2)2−(j(j−12)2 . Daha sonra (a−b)(a+b)=a2−b2 özeliği kulanarak :
Gj=(j(j+1)2−j(j−12)(j(j+1)2+j(j−12)=...=j3 olur.
Böylece ;
Alan(K)=G1+G2+...+Gn=1+23+33+...+n3 olur. ...(2)
(1)ve(2) den 13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2 dır. ⌈$⌉
"Bu soruyu lisedeyken; bizim matematik hocamıza sormuştum ve böyle şeklinde ispatamişti (Büyük ihtimali o da başka bir yere gördü yani ona ayıt değil ama önemlı değil) . Çok dağışık ve ilgınç geldı bana ve Üniversitede illa matematık okuyacağım dememı sebeplerınden biri oldu"