1955-56 İTÜ giriş sınav sorusu

Question

Denklemi $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$   olan elipsin, Ox ve Oy pozitif eksenleri arasındaki dörtte biri üzerinde alınan $M(\alpha,\beta)$ noktasına ait teget ve normali çiziliyor. $O(0,0)$ noktasından tegete $OT$  ve normale $ON$ dikmeleri indiriliyor. $ONMT$ dikdörtgeninin alanını maksimum kılacak  $M$ noktasının koordinatlarını $a$ ve $b$ cinsinden hesaplayınız.

Comments

İtüyede girmek neymiş arkadaş.Şimdi böyle sorulardan eser yok sanırım

Answer 1

Verilen elipste $a>b$ olduğunu kabul edelim. $M(\alpha,\beta)$  noktasından geçen teğetin denklemi:

$\alpha b^2x+\beta a^2y-a^2b^2=0$   ve normal denklemi:

$-\beta a^2x+\alpha b^2 y-\alpha \beta b^2+ \alpha \beta b^2=0$ dır.

$|ON|=\frac{|-\alpha \beta b^2+ \alpha \beta a^2|}{\sqrt{\alpha^2 b^4+\beta^2 a^4}}$ , $|OT|=\frac{|-a^2b^2|}{\sqrt{\alpha^2 b^4+\beta^2 a^4}}$ , $A(ONMT)=|ON|.|OT|=\frac{\alpha \beta a^2b^2(a^2-b^2)}{\alpha^2 b^4+\beta^2 a^4}.................(1)$

Öte yandan $M(\alpha,\beta)$ noktası elips üzerinde olduğundan elips denklemini sağlar. $\frac{\alpha^2}{a^2}+\frac{\beta^2}{b^2}=1\Rightarrow \beta=\frac ba \sqrt{a^2-\alpha^2}................(2)$  sonucu $(1)$ de  kullanılırsa,

$\alpha$ 'ya bağlı alan fonksiyonu $A(\alpha)=\frac{\alpha b(a^2-b^2)\sqrt{a^2-\alpha^2}}{\alpha^2b^2+a^4-a^2\alpha^2}$ olur.  $A'(\alpha)=0$ ile $\alpha$ değerini bulalım. Burada çok uzun işlemler sonucu(işlem hatası yapmış olma ihtimali var) $\alpha=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$  bulunur. Buradan $\beta =\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ olarak bulunur. Dikdörtgenin maksimum alanı ise :$\frac{a^2-b^2}{2}=\frac{c^2}{2}$ dir.