$a\cos x+b\sin x\le\sqrt{a^2+b^2}$ gösteriniz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
158 kez görüntülendi

Yukarıdaki eşitsizlik lisede kullanılmakta ama genellikle kanıt verilmemektedir. Bilgi amaçlı kanıtlarmısınız

19, Şubat, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde yavuzkiremici (1,741 puan) tarafından  soruldu
19, Şubat, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

1 cevap

4 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$a=b=0$ ise bir şey yapmak gerekmiyor.

$(a,b)\neq(0,0)$ olsun.

$\frac a{\sqrt{ a^2+b^2}}$ ve $\frac b{\sqrt{ a^2+b^2}}$ nin kareleri toplamı 1 olduğundan $\cos \theta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}$ ve $\sin\theta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$ olacak şekilde bir $\theta$ açısı vardır.

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{ a^2+b^2}\left(\sin x\cos\theta+\sin\theta\cos x\right)=\sqrt{ a^2+b^2}\sin(x+\theta)$ olur. $\sin(x+\theta)\leq1$ olduğundan istenen eşitsizlik elde edilir.

19, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,158 puan) tarafından  cevaplandı
19, Şubat, 2015 yavuzkiremici tarafından seçilmiş

Cauchy-Schwartz eşitsizliği ile de (daha kısa olarak) gösterilebilir.

Teşekkürler Sn Hocam

...