Lorentz Dönüşümlerinin Çıkartılışı

Question

Son zamanlarda burda çok sorulduğundan Lorentz Dönüşümünü yazmaya çalıştım.

Amaç,

 

$$x' = ax + bt$$

$$t' = dx +  ft$$

için bir lineer dönüşüm yapmak.

Bu dönüşümde

$$x' = x = 0$$

$$t' = t = 0$$

yi ayarlayarak,  $a$, $b$, $d$, $f$ katsayılarını genelliği bozmadan bulmaya çalıştım.

Answer 1

Üssüz $S$ sistemine göre sabit $\vec{v}$ hızıyla giden üslü $S'$ sistemi arasında bir dönüşüm nasıl yapılır?

Sorunu çözerken ışık hızı $c$ nin tüm eylemsiz referans sistemleri için hızının sabit olduğunu kabul edelim. Bir de sadece yazım kolaylığı olsun diye $\vec{v}$ yi $\widehat x$ de ele alalım.

Amacımız $S'$ daki $(x',t')$ için $S$ den doğrusal bir dönüşüm yazmak. Daha sembolik hali ise:
$$x' = ax + bt$$
$$t' = dx + ft$$
deki $a$, $b$, $d$ ve $f$ yi hesaplamak.

Tabii ki de
$$y' = y$$
$$z' = z$$
olduğu aşikardır.
{Lorentz Dönüşümü}
Başlangıç anı için saat ve başlangıç noktalarını,
$$x' = x = 0$$
$$t' = t = 0$$
şeklinde ayarlarlayalım.
$$x' = ax + bt$$
denkleminde üslü koordinatların kendisi için başlangıç noktası $x'= 0$ olduğunda üssüz için bu nokta $x = vt$ olacağaından son denklik
$$x' = 0 = avt + bt$$
den
$$b = - av$$
ve denklem,
$$x' = ax - avt = a ( x - vt )$$
Diyelim ki bu başlangıç anaında bir ışık çakarı çaktık ve bunu gözlemliyoruz. O halde ışık iki sistem açısından,
$$x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2$$
$${x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2 = c^2 {t'}^2$$
olur. Üslü denklemde dönüşümlerimizi yazalım ve elde ettiğimiz denklemi üssüz denkleme eşitleyelim.
$$(a(x-vt))^2 + y^2 + z^2 = c^2 (dx+ft)^2$$
$$(a^2 - c^2 d^2) x^2 - 2(v a^2 + c^2 f d) tx + y^2 + z^2 = (c^2 f^2 - a^2 v^2) t^2$$
Bu son denklemi,
$$x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2$$
ile kıyasladığımızda,
$$a^2 - c^2 d^2 = 1$$
$$v a^2 + c^2 f d = 0$$
$$c^2 f^2 - a^2 v^2 = c^2$$
Son üç denklemin ilk ikisinde
$$d^2 = \dfrac{1 }{c^2} (a^2 - 1)$$
$$d = - \dfrac{v a^2}{c^2 f}$$
$$d^2 = \dfrac{v^2 a^4}{c^4 f^2}$$
$d$ yi eleyerek,
$$\dfrac{v^2 a^4}{c^4 f^2} = \dfrac{1 }{c^2} (a^2 - 1)$$
$$\dfrac{v^2 a^4}{c^2 f^2} = a^2 - 1$$
$$c^2 f^2 = a^2 v^2 + c^2$$
şeklinde yazıp son denklemde yerine yazalım.
$$\dfrac{v^2 a^4}{a^2 v^2 + c^2} = a^2 - 1$$
$$a^2 c^2 + a^4 v^2 - c^2 - a^2 v^2 = v^2 a^4$$
$$a^2 c^2 - c^2 - a^2 v^2 = 0$$
$$a = \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}$$
olur. Bu sonucu,
$$c^2 f^2 = a^2 v^2 + c^2$$
ye yerleştirdiğimizde,
$$c^2 f^2 = \dfrac{c^2}{c^2 - v^2} v^2 + c^2$$
$$f^2 = \dfrac{c^2}{c^2 - v^2} = a^2$$
olur ve $f$ yi pozitif seçersek,
$a=f$ olur. $d$ için de bulduklarımızı
$$v a^2 + c^2 f d = 0$$
ye yerleştirirsek,
$$d = - \dfrac{v}{c^2} \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

Böyle Lorentz Dönüşümleri,


$$x' = \dfrac{x - vt}{{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}}$$
$$t' = \dfrac{-\dfrac{v}{c^2}x + t}{{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}}$$

$$\beta \equiv \dfrac{v}{c}$$
$$\gamma \equiv \dfrac{1}{{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}}$$
tanımlarıyla Lorentz Dönüşümleri,
$$x' = \gamma (x - vt)$$

$$y' = y$$

$$z' = z$$

$$t' = \gamma (-\dfrac{\beta}{c}x +t)$$
olur.

Benzer şekilde bu dönüşümlerin ters Lorentz Dönüşümleri de

$$x = \gamma (x' +  vt)$$

$$y = y'$$

$$z = z'$$

$$t = \gamma (\dfrac{\beta}{c}x' +t')$$

 

şeklinde olur.

Kaynakça

Leonard Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Chapter12

Landau, Classical Field, Chapter 1