Ic carpimdan gelmeyen normlarin siniflandirilmasi

Question

Her ic carpim uzayini $(\mathbb{V},\langle \cdot,\cdot\rangle)$,  $\| x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} $ ile bir normlu uzaya $(\mathbb{V},\| \cdot\|)$ donusturebiliriz.

 

$p\geq1$ icin  $l_p$ uzayi $n$ boyutlu gercel bir normlu uzay olsun ve norm $\|x\|_p =( \sum_{i=1}^{n}|x_i|^{p} )^{\frac{1}{p}}$ seklinde verilmis olsun.

 

Gosterin ki $p\neq2$ icin $l_p$ normlu uzayina donusturelebilen bir ic carpim uzayi yoktur

Comments

İç çarpımdan üretilen normun sahip olduğu bir özellik biliyor musun?

---

Parallel kenar baglantisi  demek istiyorum  $\| x + y \| ^{2} + \| x - y \| ^{2} = 2\| x \| ^{2}+2\| y \| ^{2}$

---

O zaman, paralelkenar bağıntısını sağlamayan normlar, iç çarpımdan üretilmiş olamaz.

---

Buralar biraz sacma olacilir.

Ic carpimi aci ve norm u uzunlukla bagdastiriyorum kafamda hep. Bu uzaylarda normun ic carpimla uyumlu olmamasi aci olcemeyecegimiz anlamina mi geliyor ?

Mesela Hilbert uzaylarini surekli bir bicimde birbirlerine baglayarak riemmanian cok katlilarini elde ediyoruz. (cok sacma anlattim ama metrik sureklidir ve metrigin bir noktada degerlendirirsek bir ic carpim elde ederiz demek istedim). Bu uzaylari da surekli bir sekilde birbirine baglayabilir miyiz? Boyle bir yapi var mi ?

---

Soru şu:

$p\neq2$ için ($l_p$ de, $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olmak üzere)  $\left\|\mathbf{x}\right\|_p=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{\frac1p}=\sqrt{<\mathbf{x},\mathbf{x}>}$ olacak şekilde bir $<\ >$ iç çarpımının var olmadığını gösterin.

(İç çarpım yoktur değil, o norm ile uyumlu (yukarıdaki eşitlik anlamında) iç çarpım yoktur)

"metrigin bir noktada degerlendirirsek bir ic carpim elde ederiz demek istedim" değerlendirmek??

Her metrik normdan üretilmez,  her norm iç çarpımdan üretilmez.

---

oradagi metrik riemannian cokkatlilarindaki metrik idi. Metrigi manifoldun bir noktasinda degerlendirince bir pozitif semidefinit bilinear form veriyor. O form ise manifoldun o noktasindaki tanjant uzayindaki ic carpim.

---

Ic carpimin uyumlu olmamasi ne demek? Yani ic carpim norm ile uyumlu olunca elimizde guzel bagintilar mi var ? 

Her metrik normdan üretilmez,  her norm iç çarpımdan üretilmez.

Evet. Merak ettigim zaten lokal olarak ic carpimdan uretilmeyen normlu uzaylara benzeyen bir metrik uzay varmidir

---

"Yani ic carpim norm ile uyumlu olunca elimizde guzel bagintilar mi var ? "

Paralelkenar eşitliği var.

---

cok guzel bir matematikci cevabi oldu :)