Metalin ucu için hız fonkisyonunu
\vec{v}_{uç} (t)
ve konum fonksiyonunu
\vec{x}_{uç} (t)
ile gösterelim.
Karınca için içinse konum \vec{x} ve hız \vec{v} ile gösterilsinler.
Amacımız, \vec{x} (t) = \vec{x}_{uç} (t) olduğu t değerini bulmak.
Şimdi, fonksiyonları inşa edelim.
\vec{v}_{uç} (t) = - 1
olarak yazdım. (Metalin ucunu x=0 a sabitledim ve kısalmayı - yön olarak seşçtim)
\vec{x}_{uç} = \int -1 dt'
\vec{x}_{uç} = 10 - t
olur.
Karıncanın hızı \vec{v} yi
\vec{v} = \dfrac{dx}{dt}
şeklinde ifade ettiğimizde,
\dfrac{dx}{dt} = 1 - \dfrac{x}{10 - t}
olur. Bu denklemi,
\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{10 - t - x}{10 - t}
dx[10 - t] + dt[ x + t - 10] = 0
Bu bir tam diferansiyel değil,
ifadeyi tam diferansiyel yapmak için sadece t ye bağlı bir \mu (t) ile ifadeyi çarpalım,
dx[10\mu - t \mu] + dt[ x\mu + t\mu - 10\mu] = 0
şimdi tam diferansiyellik koşulun
\dfrac{10\mu - t \mu}{dt} = \dfrac{x\mu + t\mu - 10\mu}{dx}
\dfrac{d \mu}{dt} (10 -t) = 2 \mu
\mu (t) = \dfrac{1}{(10 - t)^2}
olur.
Diferansiyel de
dx[\dfrac{1}{10-t}] + dt[ \dfrac{x + t - 10}{(10-t)^2}] = 0
halini alır. Şimdi dx li kısma integral alırsak
F(x,t) = \int [\dfrac{1}{10-t}] dx
F(x,t) = \dfrac{x}{10-t} + g(t)
olur. Bulduğumuz kapalı fonksiyona t ye göre türev alırsak dt li kısmı elde ederiz.
\dfrac{\partial F(x,t)}{ \partial t} = \dfrac{x}{(10-t)^2} + \dfrac{d g(t)}{dt} = \dfrac{x + t - 10}{(10-t)^2}
\dfrac{\partial F(x,t)}{ \partial t} = \dfrac{x}{(10-t)^2} + \dfrac{d g(t)}{dt} = \dfrac{x }{(10-t)^2} + \dfrac{t-10}{(10-t)^2}
\dfrac{d g(t)}{dt} = - \dfrac{1}{(10-t)}
ifadeyi integrallersek,
g(t) = \int - \dfrac{1}{(10-t)} dt
g(t) = \ln (10 - t) + k
ve
F(x,t) = \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) + k = 0
x(0) = 0 koşulunu k yi bulmak için kullanalım.
F(0,0) = \ln(10) + k = 0
k = - \ln(10)
F(x,t) = \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) - \ln(10) = 0
buradan da
\dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) - \ln(10) = 0
\dfrac {x}(t) = (10-t) [ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 0
elde edilir.
Artık
\vec{x}_{uç} = 10 - t
ile
x(t) = (10-t) [ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 0
yi eşitleyebiliriz.
x(t) = \vec{x}_{uç} (t)
(10-t) [ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 10 - t
[ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 1
\ln (\dfrac{10}{10 - t}) = 1
\dfrac{10}{10 - t} = e
den
t = 10 (1 - \dfrac{1}{e})
olur.
Bu t değerini
\vec{x}_{uç} (t) = 10 - t
de yerini yazıp karıncanın ucuna geldiği noktayı da hesaplayalım.
\vec{x}_{uç} (10 (1 - \dfrac{1}{e})) = 10 - (10 (1 - \dfrac{1}{e}))
\vec{x}_{uç} (10 (1 - \dfrac{1}{e})) = \dfrac{10}{e}))
olur.