Herhangi bir dörtgende köşegenlerin oluşturduğu üçgenler

Question

Düzlemsel konveks bir dörtgende köşegenlerin kesim noktası O olsun.

Oluşan $AOB,BOC,COD,DOA$ üçgenlerinin kenarortaylarının kesim noktaları sırası ile

$G_1,G_2,G_3,G_4$ ise;

a) $G_1G_2G_3G_4$ dörtgeni bir paralelkenardır.Gösteriniz.

b) $Alan(G_1G_2G_3G_4)=\frac 29 A(ABCD)$ dir. İspatlayınız.

NOT:Grafik çizmeyi beceremediğim için bir şekil çizemedim. Bu soruya uygun bir şekil çizecek bir arkadaşa şimdiden teşekkür ediyorum.

Comments

Doğan hocam, zaman ayırıp sorunun daha anlaşılır ve anlamlı hale gelmesindeki katkınız için çok çok teşekkür ederim. Emeğinize ve zihninize sağlık.

Answer 1

$G_1G_2$, $AC$'ye paralel çünkü $G_1$'in de $G_2$'nin de $AC$'den yüksekliği $B$'nin $\frac13$'ü kadar. Aynı argüman diğer 4 kenar için de geçerli, burdan paralelkenar olduğu çıkıyor.
$G_1G_2$, $AC$'nin $\frac13$'ü kadar (çünkü $BG_1$'in $AC$'yi kestiği yerden $BG_2$'nin $AC$'yi kestiği yere kadar olan kısım $AC$'nin yarısı, $G_1G_2$ de bunun $\frac23$'ü). Aynı argüman diğer kenarlar için de geçerli.
Alanlar $O$'daki açının sinüsü ile orantılı. Bu oran büyük dörtgende $\frac{|AC|\cdot|BC|}2$, küçük dörtgende $|G_1G_2|\cdot|G_2G_3|=\frac{|AC|\cdot|BC|}9$, dolayısıyla küçük alanın bütük alana oranı $\frac29$.