Euler methodu ile yaklaşık çözümün hata üst sınırını hesaplama

Question

Euler methodu ile Cauchy probleminin yaklaşık çözümün hata üst sınırını hesaplama

Cauchy problemi $\begin{cases} y'(t)=f(t) & \\y(0)=y_0\end{cases}$

$(i=0,1,2,3,4,5)$ olmak üzere$|y(t_i) - w_i| = E_i$ hatasının üst sınırını hesaplayınız.

Ugrasim asagidaki gibidir.

 

Comments

Cauchy probleminde sag taraf nasil tanimlanmis?

---

Orda bi tanimlama yok sanirim sol taraftaki ifadeyi temsil etmesi icin i indisli bi E (error) harfi kullandık

---

Benim size önerim "Bu ifadeyi bir önceki sayfada göstermiştik" satırının üstünden itibaren $$E_{i+1} \leq (1 + hL) E_i + \frac{h^2M}{2}$$ biçiminde ilerlemeniz ve daha sonra bu eşitsizliği kullanarak her bir $i$ için $E_i$'ye ve $E_0$'a ait bir eşitsizlik yakalamanız. Bunu verdiğim eşitsizlikte $i = 0$'dan başlayıp $4$'e kadar devam etmek suretiyle $i$-inci adımda bulduğunuz sonucu $(i+1)$-inci adımda kullanarak yapabilirsiniz.

---

Teşekkür ederim yarin deneyeceğim ama yanlid hatirlamiyorsam birbiri cinsinden yazamamistim tekrar bakayim.

---

burdaki işlemi tam oturtamadım

$E_{i+1}$ demekle $E_{i}$ arasında bi fark var mı euler metodunun hata üst sınırı için $E_{i+1}$ bunu kullanmıştık

teknik olarak aynı şey mi bunlar

---

Burada $E_{i} := |y(t_i) - w_i|$ olarak tanımlamışsınız. Dolayısıyla $E_{i+1} = |y(t_{i+1}) - w_{i+1}|$ olacak. Yani $E_i$, $t = t_i$ anındaki nümerik hata ve $E_{i+1}$ ise $t = t_{i+1}$ anındaki nümerik hata. Sayısal yöntemlerin hata analizlerinde daha ileri bir zamandaki hatayı, daha erken bir zamandaki hata ile sınırlamak isteriz. Örneğin $t_{i+1}$ zamanındaki hatayı, $t_i$ anındaki hata ile sınırlamak gibi. Gerekçesini açıklamaya çalışayım: Eğer herhangi bir andaki hatayı (örneğin $t_{i+1}$), o anın geçmişindeki bir hata ile sınırlayabilirseniz (örneğin $t_i$) ve bu durum tüm anlar için geçerli ise ($\forall i, i \in \{0, 1, \dotsc, 5\}$), bu taktirde en son andaki hatayı başlangıçtaki hata ile sınırlandırabilirsiniz demektir. Başlangıçtaki hata payı ise zaten sonlu olacaktır, zira bilgisayara başlangıç koşulunu biz giriyoruz. Bundan dolayı amacımız bir eşitsizlik  $\leq$ yakalamak, öyle ki eşitsizliğin sol tarafında $E_{i+1}$, sağ tarafında ise $E_{i}$ olacak ve bu eşitsizlik tüm $i$ değerleri için geçerli olacak. Bu bize (kabaca) $E_{i+1} \leq E_i \leq E_{i-1} \leq \dotsm \leq E_0$ biçiminde zincirleme bir eşitsizlik sağlayacak. Bu yüzden bir önceki mesajda belirttiğim gibi size önerim $E_{i+1}$'in sol tarafta yer aldığı bir eşitsizlik yazmanız. Bunun için ise en başta $$y(t_{i+1}) = y(t_i) + hy^\prime(t_i) + \frac{h^2}{2} y^{\prime\prime}(\xi)$$ ve $$w_{i+1} = w_i + h f(t_i,w_i)$$ yazdıktan sonra, yani $i+1$ indeksli terimleri yalnız bıraktıktan sonra taraf tarafa çıkarma işlemi yaparak ilerlemelisiniz.