$H\subseteq G$ bir altgrup olsun. Bütün $x,y\in G$ için, $xy^{-1}\in H$ olması $y^{-1}x\in H$ gerektiriyorsa, $H$ normal bir altgruptur.

Question

Bu ifadenin doğru olduğuna emin olmamakla birlikte, doğruysa bir kanıt arıyorum. Teşekkürler.

(Sorunun orjinali $\varphi{(Hx)} =xH$ birebir ve örten ise $H$'ın normal olduğuydu. $\varphi$'ın iyi-tanımlanmış olduğunu göstermek için yukarıda sorduğum kanıt gerekti.)

Comments

Yazim hatasi varsa soruyu duzenlemek lazim. Yoksa yine ayni cevap gelebilir.

---

Başlığı düzeltebileceğimi şu an farkettim, uyarı için teşekkürler.

---

Bir de $H$ altgrup mu yoksa altkume mi? Cunku $H$ birim eleman icermeyebilir bu durumda. $S_3$'e $\{(12)\}$ denenebilir. Eger $H$ birim eleman icerirse, her $ae^{-1}=a\in H$ icin $a^{-1}e=a^{-1} \in H$ olur, yani altgrup olur. $(xy^{-1})^{-1}=y^{-1}x$ oldugundan, sadece elemanin tersi var demek. Bu yine normallik ile ilgili bilgi vermez. Tekrar $S_3$'e $\{e,(12)\}$ denenebilir. Ek-ek olarak: Eger verilen fonksiyonun birebir ve orten oldugu "verilmisse" zaten iyi tanimliligi kabul edilmemis midir?

---

Altgrup yazıyor hocam? Ayrıca birebir örtenliği verilmemişti. Böyle bir bijection varsa $H$ normaldir deniyordu. Bijection olduğunu göstermek için iyi-tanımlılığı gösterme ihtiyacı doğdu. (Yani böyle bir fonksiyon tanımladım ve daha sonrasında bu fonksiyonun iyi-tanımlı olduğunu göstermek için $H$'ın normal olması gerekir mi bunu göstermeye çalıştım.)

Dikkat ediniz $(xy^{-1})^{-1}=y^{-1}x$ demişsiniz fakat bu doğru değil.

---

Evet hocam, benim kafam gitmis, haklisin.

Answer 1

Çözüm küçük bir hileyle geldi. Bariz bir şekilde tüm $h\in H$ ve $g\in G$ için $hg^{-1}g\in H$. Öyleyse kurala göre $ghg^{-1}\in H$. Yani $H$ normal.

Comments

ben soruyu anlayana kadar cozulmus zaten. 

---

Olsun hocam sizin çözümünüz daha güzelmiş :)

Answer 2

Her $y \in G$ icin $yH=Hy$:

Ispat:

1) $x \in Hy$ ise $xy^{-1}\in H$ olmali. Oyleyse $y^{-1}x\in H$, yani $x \in yH$,
2) $x \in yH$ ise $y^{-1}x \in H$ olmali (sorudaki format gibi $a=y^{-1}$ ve $b^{-1}=x$ olarak dusunulebilir). Oyleyse $xy^{-1} \in H$, yani $x \in Hy$.