Adi diferensiyel denklemler

Question

Y nin 4.mertebeden türevi +64y=0 denkleminin çözümünü bulunuz?

  Denklemi çözerken çıkan kökler[ artı eksi (8i)^1/2] ve [artı eksi i(8i)^1/2] bulunuyor . Kökler a+Bi formatında olursa çözüm e^a( cosb+isinb) olurdu fakat burda bulunan köklerde sanal kısım kök içinde ve yalnız bırakamıyorum. Siz hocalarim da bi bakabilir mi 

Comments

$y^{(4)}+64y=0$ diff denklemimiz olsun.

$y=0$  ve $y=-4$ kok oldugundan polinom bolmesi yaparak, yani $y^4+64y$ yi $y(y+4)$ bolerek ikinci dereceden polinoma dusurebilirsin, ve 2. dereceden denklemin koklerini bulmak cok kolay..

Muhtemelen kokleri yanlis bulmussun.. Ama yine de $i^{1/2}$ yi nasil buldugumuzu gosterelim.

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$x=\frac{\pi}{2}$ alalim

$e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i$

Karakokunu alalim

$e^{i\frac{\pi}{4}}=i^{1/2}$

$i^{1/2}=e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}$

---

Hocam kök olarak 0 ve -4 aldınız.  Soruda 4 diye yazdigim ifâde türev anlamında 4 derece olarak 4 değil ki . Hem y(y+4) ile böldükten sonra neden elde ettiğimiz bölümle işlem yapıyoruz onu da anlamadim.  Biraz daha açık anlatabilir mısınız çözümünüzü 

---

4. dereceden lineer diff denklem.. Lineer diff denklem nasil cozuluyor, karakterik denklemi yazilir once. Belki $r^4+64r=0$ yazmaliydim. Acik oldugunu dusundum. 4 tane kok oldugu asikar, 0 da kok. O zaman koklerin hepsi komleks olamaz. En fazla 2 kompleks kok vardir..

---

Hocam karakteristik denklemi yazarken r^4+64=0 demeliyiz . Siz r^4+64r=0 demissiniz.  

---

Haklisin galiba, baya oldu diff cozmeyeli :)