Tanımın tartışılması

Question

$(x_n)_n$ bir gerçel sayı dizisi ve $a\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$\lim\limits_{n\to \infty } x_n=a :\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\in\mathbb{N})(n>N \Rightarrow |x_n-a|< \epsilon )$.

Tanımda $n>N$ yerine $N\leq n$ ve $|x_n-a|<\epsilon$  yerine $|x_n-a|\leq \epsilon$  veya $|x_n-a|< \dfrac \epsilon 2$ yazabilirdik  kavram değişmezdi. (Neden?)

Answer 1

$$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$$

olması için 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\in\mathbb{N})(n>N \Rightarrow |x_n-a|<\epsilon) \ \ ...(*)$$

önermesinin doğru olması gerekir. Şimdi $(*)$ önermesinin doğru olduğunu düşünelim. 

 Yani her $\epsilon>0$ sayısı ve her $n>N$ için 

$$|x_n-a|< \epsilon$$

eşitsizliğini sağlayan bir $N$ doğal sayısı vardır. Diğer taraftan

$$n>N \Rightarrow (N\leq n \  \wedge \ n\neq N)\Rightarrow N\leq n$$

ve 

her $\epsilon>0$ sayısı için $(*)$ önermesi doğru olduğundan

$$\epsilon:=\dfrac \epsilon 2 >0$$

sayısı içinde doğru olur. Bu bilgiler ışığı altında 

$$(\forall \frac \epsilon 2 >0)(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\in\mathbb{N})(N\leq n \Rightarrow |x_n-a|< \dfrac \epsilon 2)$$

önermesi de doğru olur.