Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

(Bu soru  ile ilişkili)

f:[a,b)R şeklinde bir fonksiyon ve f, (a,b) aralığının her noktasında türevlenebilir olsun.

Eğer 

limxa+f(x)=L, (LR) ve f, a da sağdan sürekli ise

limxa+f(x)f(a)xa=L ( yani f nin a da sağdan türevi vardır ve L ye eşittir.)

olduğunu gösteriniz.

f nin a sağdan türevlenebilir olduğu ama limxa+f(x) limitinin var olmadığı bir örnek bulunuz.

(benzer durum soldan türev ve  iki taraflı türev için de geçerli)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

İyi bilinen bir limit teoremini kullanarak bu iddianın ispatı çok kolay.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
f, a da sağdan sürekli olduğu için, (sağdan sürekli olmanın tanımı) limxa+f(x)=f(a) dır.

 Bu nedenle, limxa+f(x)f(a)xa limitinde 00 belirsizliği vardır.

L' Hospital in Kuralını uygulamak istiyoruz.

limxa+ddx(f(x)f(a))ddx(xa)=limxa+f(x) olur. Kabulümüzden, bu limit L sayısına eşit idi. Öyleyse (L' Hospital in Kuralından)

limxa+f(x)f(a)xa=L olur.

Ama

f(x)={x2sin1x,x00,x=0 fonksiyonunda

f, 0 da süreklidir ve f(0)=0 olur (sitede var) . Ama, x0 için f(x)=2xsin1xcos1x olup limx0+f(x), limx0f(x), limx0f(x) limitlerinin hiçbiri mevcut değildir. Bu fonksiyon için (f nin a da türevii var olup) yukarıda gösterilen eşitlik doğru olmaz
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Teşekkürler, hocam.

Son üç satırda yazıları biraz değiştirdim.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,853 kullanıcı