∞∑n=112nn2
Benim son iki sorum, bu toplamı hesaplamak için hazırlık idi.
|x|≤1 için f(x)=∑∞n=1xnn2 olsun (Abel in makalesinde de aynı fonksiyon var)
|x|<1 için f′(x)=∑∞n=1xn−1n ve xf′(x)=∑∞n=1xnn=−ln(1−x) olur.
Buradan (f(0)=0 olduğunu da kullanarak) ,
Her |x|<1 için f(x)=−∫x0ln(1−t)tdt olduğu görülür.
Bu eşitlikten de (Abel in makalesinin sonunda görülen):
(http://matkafasi.com/124575/%24-int_0-frac12-frac-ln-1-x-x-dx%24-integralini-hesaplayiniz sorusunda da gösterilen)
∞∑n=112nn2=f(12)=−∫120ln(1−t)tdt=π212−12(ln2)2
elde edilir.