Processing math: 9%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
503 kez görüntülendi
a,bR ve nN olmak üzere (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k olduğunu gösteriniz.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 503 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

a,b\in\mathbb{R}   ve   n\in\mathbb{N}  olmak üzere

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k

olduğunu tümevarım metoduyla gösterelim.

\boldsymbol{n=1} için 

(a+b)^1=a+b=\dbinom{1}{0}a+\dbinom{1}{1}b=\sum_{k=0}^1\dbinom{1}{k}a^{1-k}b^k

eşitlik doğru.

\boldsymbol{n=t} için

(a+b)^t=\sum_{k=0}^t\dbinom{t}{k}a^{t-k}b^k

ifadesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\boldsymbol{n=t+1} için

(a+b)^{t+1}=(a+b)^{t}(a+b)

=(a+b)\Bigg[\sum_{k=0}^t\dbinom{t}{k}a^{t-k}b^k\Bigg]

=(a+b)\Bigg[\dbinom{t}{0}a^{t}b^0+\dbinom{t}{1}a^{t-1}b^1+\dbinom{t}{2}a^{t-2}b^2+...+\dbinom{t}{t-2}a^{2}b^{t-2}+\dbinom{t}{t-1}a^{1}b^{t-1}+\dbinom{t}{t}a^{0}b^t\Bigg]

=\dbinom{t}{0}a^{t+1}b^0+\boldsymbol{\dbinom{t}{1}a^{t}b^1}+\dbinom{t}{2}a^{t-1}b^2+...+\dbinom{t}{t-2}a^{3}b^{t-2}+\dbinom{t}{t-1}a^{2}b^{t-1}+\dbinom{t}{t}a^{1}b^{t}

  +\boldsymbol{\dbinom{t}{0}a^{t}b^1}+\dbinom{t}{1}a^{t-1}b^2+\dbinom{t}{2}a^{t-2}b^3+...+\dbinom{t}{t-2}a^{2}b^{t-1}+\dbinom{t}{t-1}a^{1}b^{t}+\dbinom{t}{t}a^{0}b^{t+1}

=\dbinom{t}{0}a^{t+1}b^0+\boldsymbol{\dbinom{t+1}{1}a^{t}b^1}+\dbinom{t+1}{2}a^{t-1}b^2+...+\dbinom{t+1}{t-1}a^{2}b^{t-1}+\dbinom{t+1}{t}a^{1}b^{t}+\dbinom{t}{t}a^{0}b^{t+1}

=\dbinom{t+1}{0}a^{t+1}b^0+\dbinom{t+1}{1}a^{t}b^1+\dbinom{t+1}{2}a^{t-1}b^2+...+\dbinom{t+1}{t-1}a^{2}b^{t-1}+\dbinom{t+1}{t}a^{1}b^{t}+\dbinom{t+1}{t+1}a^{0}b^{t+1}

=\sum_{k=0}^{t+1}\dbinom{t+1}{k}a^{t+1-k}b^k

O halde  \forall n\in\mathbb{N} için Binom Teoremi sağlanır.

\therefore

(549 puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,206 kullanıcı