Sayı Problemleri

Question

Matematik öğretmeni Yılmaz Bey, kartların üzerine üslü ifadeler yazmıştır. Üslü ifadelerin üsleri birer doğal sayıdır. Bir etkinlikte bu kartları öğrencilerine vermiş ve elinde kart olmayan öğrencilerden birer doğal sayı söylemelerini istemiştir. Elinde kart olan öğrencilerden bu sayının toplamına eşit olanların kaldırmasını istemiştir. 1 den 144 e kadar olan tüm sayıların toplamını öğrenciler ellerindeki kartları birer kez kaldırarak elde etmiştir. Buna göre Yılmaz öğretmen en az kaç öğrenciye kart vermiştir? 

Hocam cevabı bilmiyorum.

Hocam 1 den 144 e kadar olan sayıların toplamı 10440 eder. 102 nin karesi 10404 tür. Birde kartta yazan 36 değeri olduğu zaman 10440 ı elde etmiş olur. Şıklarda 2 yok. Nerede hata yapıyorum ? Soruyu anlamadan bir şeyler yapmaya çalışıyorum da olabilir. Eğer öyleyse hocam özet niteliğinde sorunun ne demek istediğini yazarsanız çok sevinirim. Şimdiden teşekkür ederim.

Comments

Bazı öğrencilerin elinde $a^n$ şeklinde üslü ifadeler var; kart taşıyanların sayısı $N$ olsun. Hoca $1$ ilâ $144$ arasında bir sayı söyleyince ($1\leq A\leq 144$ olsun) bu $N$ arkadaşın taşıdıkları sayıların toplamı $A$ edenler elini kaldırıyor: $$A=\sum\limits_{i=1}^{k(A)} a_i^{n_i}$$

Tüm bu 144 sayıyı geçerlerken herkes yalnızca bir defa elini kaldırmış. Buna göre $N$ enaz kaç olmalıdır? $a^n$ üslerini ve $N$ yi uygun ayarlamak lazım yani.

Tüm sayıları topladınız; OK. Bu sayı, tüm üslülerin toplamı olmuş olacak, değil mi?

Demek istenen şu: diyelim hoca $111$ dedi. Elindeki üslerin toplamı $111$ edenler el kaldırıyor. Ve bunlar daha sonraki (ve önceki) hiçbir sayıda el kaldırmıyorlar. Bunu 1 ile 144 arasındaki tüm sayılar için düşünmek gerek.

---

Hocam şıklarda 7 , 8 , 10 ve 12 var. Eğer öyle düşünürsek şıklara göre daha fazla sayıda kart gerekmez mi ? 

---

Belki soru şöyle olabilir (Bu şekli ile biraz garip geldi bana)

" Elinde kart olan öğrencilerden, (kartlardaki sayıların) toplamı bu sayıya eşit olanların kaldırmasını istemiştir. 1 den 144 e kadar olan tüm sayıları,  bu şekilde elde etmiştir.

(Bir de sorunun hangi konuda sorulduğunu bilmek bize ipucu verebilir)

---

Hocam dediğiniz gibi düşündüm. Cevabı 8 buldum. 7 olamaz mı ? Daha pratik bir çözüm var mıdır ? Çünkü 8 i bulmam, biraz uzun sürdü.

1,2,4,5,9,16,38,76 

---

Verilen sayının mod 2 yazılışını düşünürsek, $2^0,2^1,\dots,2^7$ yetiyor.

(2 nin kuvvetleri, kartları kaldıran öğrenci alt kümelerinin sayısından akla gelebilir. Kart olan öğrencilerin sayısı $k$ ise $2^k-1\geq144$ olmalı)