Şu sayının içinde $0$'dan $9$'a kadar her rakam var, biri dışında.

Question

$2^{29}$ sayısının içerisinde biri hariç bütün rakamlar en az bir kere geçiyor. Hesap makinesi/bilgisayar kullanmadan eksik olan rakamı bulabilir misiniz?

(Ben cevabı bildiğim için yaptıklarımı yazmayacağım).

Comments

buna benzer bir sorunuzda,bi yöntem bulmuştum.o şekilde yavaş yavaş bulabiliriz : )

Answer 1

Güzel bir soru.

Önce şunu gözlemlemek  gerekiyor: $2^{29}$ tam 9 basamaklı bir sayı. (Ben, $2^{10}=1024\approx10^3,\  2^{29}<2^{30}\approx10^{9}$ olduğundan farkettim)

Bunu göstermek kolay:

 $10^9<2^{30}<(1.1\times10^3)^3=1.331\times10^9<14\times10^8$ olduğundan $5\cdot10^8<2^{29}<7\cdot10^8$ bulunur, $2^{29}$ tam olarak 9 basamaklı bir sayıdır. Bu da, (eksik rakam dışında kalan) diğer rakamların TAM olarak bir kez bulunduğu anlamına gelir.

Eksik olan rakamı bulmak için, bu sayının $\mod9$ kaça denk olduğunu bulacağız.

Eksik olan rakama $x$ diyelim, 

Bir sayının rakamları toplamı, $\mod9$ kendisine denk olduğu ve $0+1+2+\cdots+9=45\equiv 0\ (\mod9)$ olduğu için:

$2^{29}+x\equiv0\ \mod9$, yani $x\equiv-2^{29}\ \mod9$ olacaktır.

$2^3=8\equiv-1\mod9$ oluşundan, $2^{29}=(2^3)^9\cdot2^2\equiv-4\mod 9$ olduğu görülür.

 $x\equiv4\mod9$ olduğunu bulduk. 

$x$ bir rakam olduğu için  $x=4$ olmalıdır.

(wolframalpha ya güvenirsek $2^{29}=536.870.912$ imiş. Gerçekten de sorudaki durum var)

(Edit: bir kaç kez yazım düzeltmesi)

Comments

Soruya göre $2^{29}$ en az dokuz basamaklı olmalı.

$2^{29}>10^8$ oluşu, bunun doğruluğunu gösteriyor.

---

MSRI newsletter'dan bir soru. Ben de Twitter'da gördüm. Çözüm için teşekkürler.