İlgili linkteki önermeyi anlamak.

Question

http://matkafasi.com/101492/baz-ve-topoloji?show=101492#q101492

İlgili linkteki önerme bir baz farklı iki topolojinin bazı olamaz diyor.

Öncelikle bazın tanımını verelim:

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B}\subseteq\tau$ olmak üzere

$\mathcal{B},\tau$ için baz:$\Leftrightarrow (\forall A\in\tau)(\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(\bigcup\mathcal{A}=A)$

$(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$(\mathcal{B},\tau_1\text{ için baz})(\tau_2\subseteq\tau_1)\Rightarrow \mathcal{B},\tau_2 \text{ için baz}$

Fakat burada ilgili linkteki önerme ile çelişiyoruz sanki  o halde aşağıdaki verilen kanıtta yanlış nerededir?

Kanıt: $\mathcal{B}\subseteq\tau_2$ ve $A\in\tau_2$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (\mathcal{B}\subseteq\tau_2)(A\in\tau_2) \\ \\ \tau_2\subseteq\tau_1 \end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{cc} \\ \\ \left.\begin{array}{rr} (\mathcal{B}\subseteq\tau_1)(A\in\tau_1) \\ \\ \mathcal{B},\tau_1 \text{ için baz} \end{array}\right\} \Rightarrow \end{array} \begin{array}{cc} \\ \\ (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}) (\bigcup\mathcal{A}=A) \end{array}$.

Comments

$\mathcal{B}\subseteq\tau_2$ olduğu soruda verilmemiş. 

Gösterilmesi gerekmez mi?

---

Aynen dediğiniz gibi Doğan hocam. Tanımı iyi okumak ve iyi anlamak ile ilgili , aşağıdaki örnekte olmadığına dair verilebilir:

$(\mathbb{R},\tau_\text{üst})$ ve $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ topolojik uzaylarını ele aldığımızda 

$\mathcal{B},\tau_\text{üst}$ için baz ve  $\mathcal{U}\subseteq\tau_\text{üst}$ olmasına karşın $\mathcal{B},\mathcal{U}$ için baz olmadığı görülür.

Not:$\ \mathcal{U}$ alışılmış topoloji