Question

$ H=\left\{ 1,\left( 13\right) \right\} $ , $D_{8}$ in sol ve sağ kosetlerini bulunuz.

$ H=\left\{ 1,\left( 13\right) \right\} $ verilmiş.

$D_{8}=\left\{ 1,r,r^{2},r^{3},s,sr,sr^{2},sr^{3}\right\} $

sol koset için $aH$ göstermeliyim.

$ (1)H = H $

$ (r)H = \left\{ r,r\left( 13\right) \right\} $ . Bunu  $D_{8}$ in eleamanları bitene kadar devam ettirmeliyim , ama böyle $ \left\{ r,r\left( 13\right) \right\} $ bulunca kafam karıştı ne yapmalıyım ?

Comments

$(1,3),\ D_8$ in hangi elemanı?

---

hocam $D_8$ = Kare desem.Karenin her bir kenarının başını numaralandırsam 1 2 3 4 diye. Sonra saat yönünde döndürsem 4 1 2 3 elde edicem.

Birde H 2 elemandan daha fazla olmamalı mı ?

---

Belki de döndürme değildir.

Niye H de ikiden çok elaman olmalı?

$D_8$ de dönmeden başka elemanlar da var. 

(Karenin dönme dışında da simetrileri var)

---

Ek not: $D_8$ kare değil, karenin simetrilerinin oluşturduğu grup. 

Her elemanı karenin bir simetrisi. 

Karenin köşeleri sıra ile 1,2,3,4 olsa (1,3), karenin hangi simetrisi olur? (Permütasyon grubundaki elemanları düşün)

---

hocam $r^2$ mi oluyor ? Hatta 1 ve $r^2$ , $D_8$in üreteci

---

hocam (1234) desek bir tur döndürdüm , (13)(24) = $r^2$ olucak. (1234) ün tersi $r^3$ olucak. $r^4$=1 zaten. (13) simetri grubundaymış. 2 ile 4 sabit tutalım , 1 ile 3 yer değiştirelim.

---

yani (13) = $rs$ 'ye tekabül ediyor. $rs = sr^3$ tür $D_8$te.

$D_8$in her elemanını soldan ve sağdan $sr^3$ ile çarparsam istediğimi elde edicem.

---

Hocam, bu soru karşıma sitede gezinirken karşıma çıktı bende üzerinden tekrardan bakayım dedim. Şunları düşündüm. Doğruluğunu beraber tartışmak isterim.

$(13)$'ü döndürme sonrası elde edemeyiz. Yukarıda yazdığım gibi Karenin köşelerine 1 2 3 4 yazarsak sırasıyla ve 2-4 sabit tutup 1-3'ün yerlerini değiştirsek yeterli olacak. Ben bu işleme $s$ diyebilirim. Daha sonra 3 defa döndürüp diğer elemanları bulurum.

Ama şu şekilde de yapabilirim. 1-3 sabit tutup 2-4 yer değiştiririm ve bu işleme $s$ derim. Büyük ihtimal $(13)=sr^2$ olacak.

$(13)H$ değişir mi?

---

Hımm tamam bunlara hiç gerek yok. $D_8$'den $H$de olmayan bir eleman seçelim. $(12)$ şimdi bununla soldan öteleyeceğim. $<(12)>= \{ e, (12), (123) \}$ oldu. Bu şekilde devam

Answer 1

$D_8 =\{ r,s | r^n=s^2=1 ,rs=sr^{-1} \}  $ ya da yukarıda olduğu gibi $D_{8}=\left\{ 1,r,r^{2},r^{3},s,sr,sr^{2},sr^{3}\right\}$

$D_8 \leq S_4$ bundan dolayı grubu $1,2,3,4$ kullanarak yazabiliriz.

$r=(1234)$ ve $s=(13)$ olsun. O halde grup şuna dönüştü: $D_8 =\{ (1),(13),(1234),(13)(24),(1432),(12)(34),(14)(23),(24)\}$

Gerisi, $G$'den $H$'de olmayan bir eleman seçip $gH$'yi hesaplamak kaldı. Aynı işlemler $Hg$ içinde geçerli.