Eğik Atış deneyi suda yapılırsa sürtünmenin etkisi nasıl olur?

Question

Eğik atış deneyi suda yapılırsa sürtünmenin ne gibi bir etkisi olur şeklinde bir soru geldi. Sürtünmeyle bir ilişki kuramadım kaldırma kuvvetini düşünmekten. Yorumlarınızı bekliyorum.

Answer 1

Kaldırma kuvvetini hesaba katsanız da sabit olacağı için ilginç bir sonuç vermez. Özellikle sıvı içerisinde hareket eden cismin yoğunluğu sıvınınkinden yeterince büyükse, ağırlık kuvveti kaldırma kuvvetine galip gelecek ve ihmal edilebilecektir.

Asıl ilginç kısım, akışkan içerisinde hareket sonucu cismin hissettiği sürtünme kuvvetidir. Bu kuvvet, ilk yaklaşımda parçacığın hızıyla doğru orantılıdır: $\vec{F}_s=-k\,\vec{v}$.

Burada istenen nedir? Bu da önemlidir. Yani, soruyu veren kişi açıkça hesap yapılmasını mı istiyor? O zaman hesaplanmalı. Yok, kabaca ne olacağını tahmin etmenizi mi istiyor? O zaman ona göre hareket edilmeli... Cismin üzerine etki eden kuvvetler, sürtünme ve ağırlıktır. Bunları Newton denklemine yazıp bakalım: 

$$m\dot{\vec{v}}=-mg\vec{j}-k\,\vec{v}$$

Bu denklemi bileşenlerine ayırırsak,

$$m\dot{v}_x=-k\,v_x\hspace{20px} m\dot{v}_y=-mg-k\,v_y$$ denklemleri alınacaktır. Bu denklemleri çözmek zor değilse de, hesapsız şekilde söylenebilecek şeylerden en önemlisi, cismin artık parabol çizmeyeceği ve yörüngesinin simetrik olmayacağıdır. 

Yukarıdaki denklemleri $\alpha=k/m$ yazarak basitleştirelim:

$$\dot{v}_x=-\alpha\,v_x\hspace{20px} \dot{v}_y=-g-\alpha\,v_y$$  Bu denklemlerden ilkinin çözümü:  $$v_x(t)=v_{x0}\,e^{-\alpha t} \hspace{30px}x(t)= \left(x_0-\frac{v_{x0}}{\alpha}\right)+\frac{v_{x0}}{\alpha}\,e^{-\alpha t}$$  Burada $v_{x0}, x_0$ cismin $x$ eksenindeki hareketinin başlangıç koşullarıdır. 

Benzer çözümü $y$ deki hareket için de yazalım:

$$v_y(t)=\frac{1}{\alpha}\left[-g+(g+\alpha v_{y0})\,e^{-\alpha t}\right] \hspace{30px}y(t)=y_0+\frac{g+\alpha v_{y0}}{\alpha^2}+\frac{1}{\alpha}\left[-gt-\frac{g+\alpha v_{y0}}{\alpha}\,e^{-\alpha t}\right]$$

Görüldüğü üzere denklemler oldukça karışık. Yörünge denklemi gerekiyorsa, $x(t)$ ifadesinden $t(x)$ çekilip $y[t(x)]$ yazılarak $y(x)$ yörüngesi yani cismin akışkan içerisinde çizdiği eğrinin denklemi bulunur. Aşağıya sürtünmeli ve sürtünmesi yörüngeleri gösteren bir resim koyuyorum. (Resim Scilab kullanılarak çizilmiştir. $g= 10\,m/sn^2; x_0=y_0=0; v_{x0}=10\,m/sn; v_{y0}=20\,m/sn$)

Comments

çok açıklayıcı oldu teşekkür ederim :)

---

Yine yorum niyetiyle başlayıp cevaba dönen bir yazı oldu maalesef :)

---

Bence maalesef değil, iyi ki demeliyiz :)