Topoloji ile ilgili bir soru

Question

$(X,\tau_{1}),(Y,\tau_{2})$ topolojik uzaylar ; $f:X\to Y$ bir fonksiyon ; $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ ve $\mathcal{B:=}\{f[A]|A\in\mathcal{A}\}\subseteq 2^Y$ olmak üzere

$``(f,\text{ örten}) (f^{-1},(\tau_{2}-\tau_{1}) \text{ sürekli}) (\mathcal{A}\subseteq\tau_{1}) (X=\bigcup\mathcal{A})$ $$\Rightarrow$$ $\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\mathcal{B}\subseteq \tau_{2}) (Y=\bigcup\mathcal{B})"$ 

önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.