Ali Dayı'nın Çiftliği

Question

Ali dayı sonsuz büüyüklükteki yonca tarlasının ortasına bir kazık çakarak "n" metre uzunluğunda ip bağlar. İpin ucunda da Ali dayının ineği vardır. İnek çok oburdur yani ne kadar yonca varsa yiyebilmektedir. Gün sonunda inek ulaşabildiği tüm alandaki yoncaları yemiştir. Ertesi gün Ali dayı kazığı yerinden çıkarır ve oluşan çember üzerindeki bir noktaya tekrar saplar. Ali dayı ipi % kaç uzatmalıdır ki ineği bir önceki gün yediği kadar yonca yiyebilsin?

Comments

Malesef sorunuzun analitik cozumu yok. Yaklasik %25 uzatmalidir.

---

Benzer bir soru da burada var:

http://matkafasi.com/8897/%24r%24-ve-%24r%24-arasindaki-iliski?show=8897#q8897

---

Soruyu ilk defa gormustum, evet baya benzer cozum..

Answer 1

Oncelikle alt ve ust sinirlari bulalim.

Ali dayi 1. gun inegi $xy$ duzleminde $r=1$ uzunlugundaki iple $(x,y)=(1,0)$ noktasina baglasin.(neden orijine degil de  o nokta, cunku kutupsal koordinatlari kullanacagim ve cemberin denklemi eger cemberin merkezi orijinde degilse biraz karisik.)

2. gun ise inegi  $r=1$ uzunlugundaki iple (ipi uzatmasin) $(x,y)=(0,0)$. Seklimiz su hale gelir. Amacimiz mavi alani hesaplamak.

 

Biraz geometri bilgisiyle mor alanin $4\Big(\pi\cdot1^2\dfrac{60}{360}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Big)+\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

O zaman mavi alan= $\pi-\Big(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}<\pi$. Yani ipi uzatmazsak 2. gun kirmizi alan kadar yiyemez.

Peki ipi 2. gun 2 katina cikaralim. Seklimiz su olur.

 

Amacimimiz mavi alani bulmak.

Mavi alan=$\pi2^2-\pi1^2=3\pi>\pi$. Yani 2. gun cok fazla yemis oldu.

O zaman 2. gunku yaricap $R$ olsun, $1<R<2$ olmali. Seklimiz su hale gelir. 

Amacimiz mavi alani $\pi$ yapan $R$ yaricapini bulmak.

Mavi bolgenin alani=$\pi R^2$ dir. Mavi alandan mor alani cikarmamiz gerek. Seklimiz $x$ eksenine gore simetrik oldugundan, mavi alni bulmak icin ust kimis bulup $2$ ile carpmamiz yeterli.

Kutupsal koordinatlarda mavi cember $r=R$ ile kirmizi cember ise $r=2\cos(\theta)$ ile verilir. Once mor alani hesaplayalim.

$R=2\cos(\theta)\Longrightarrow \theta=\arccos(R/2)=\beta$

Toplam mor alan=

$$2\left(\int\limits_0^{\beta}\dfrac{1}{2}R^2d \theta+\int\limits_\beta^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}(2\cos(\theta))^2d \theta\right)=R^2\int\limits_0^{\beta}d \theta+4\int\limits_\beta^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(\theta)d \theta$$

$$=R^2\theta\Big|_0^{\beta}+2\int\limits_\beta^{\frac{\pi}{2}}1+\cos(2\theta)d \theta=R^2\beta+2\Big(\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\Big)\Big|_\beta^\frac{\pi}{2}$$

$$R^2\beta+\Big(2\theta+\sin(2\theta)\Big)\Big|_\beta^\frac{\pi}{2}$$

$$R^2\beta+\Big(\pi+\sin(\pi)-2\beta-\sin(2\beta)\Big)$$

Toplam mavi alan ise $\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-\sin(2\beta)\Big)$ ve bu mavi alanin $\pi$'ye esit olmasini istiyoruz.

$\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-\sin(2\beta)\Big)=\pi$

$\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-2\sin(\beta)\cos(\beta)\Big)=\pi$

$\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-\dfrac{R \sqrt{4-R^2}}{2} \Big)=\pi$

$\dfrac{R \sqrt{4-R^2}}{2} +\pi  \left(R^2-2\right)-\left(R^2-2\right) \arccos\left(\frac{R}{2}\right)=0$

Numerik cozum $R=1.251212509359444$ verir.