Oncelikle alt ve ust sinirlari bulalim.
Ali dayi 1. gun inegi xy duzleminde r=1 uzunlugundaki iple (x,y)=(1,0) noktasina baglasin.(neden orijine degil de o nokta, cunku kutupsal koordinatlari kullanacagim ve cemberin denklemi eger cemberin merkezi orijinde degilse biraz karisik.)
2. gun ise inegi r=1 uzunlugundaki iple (ipi uzatmasin) (x,y)=(0,0). Seklimiz su hale gelir. Amacimiz mavi alani hesaplamak.
Biraz geometri bilgisiyle mor alanin 4(π⋅1260360−√34)+2√34=2π3−√32
O zaman mavi alan= π−(2π3−√32)=π3+√32<π. Yani ipi uzatmazsak 2. gun kirmizi alan kadar yiyemez.
Peki ipi 2. gun 2 katina cikaralim. Seklimiz su olur.
Amacimimiz mavi alani bulmak.
Mavi alan=π22−π12=3π>π. Yani 2. gun cok fazla yemis oldu.
O zaman 2. gunku yaricap R olsun, 1<R<2 olmali. Seklimiz su hale gelir.
Amacimiz mavi alani π yapan R yaricapini bulmak.
Mavi bolgenin alani=πR2 dir. Mavi alandan mor alani cikarmamiz gerek. Seklimiz x eksenine gore simetrik oldugundan, mavi alni bulmak icin ust kimis bulup 2 ile carpmamiz yeterli.
Kutupsal koordinatlarda mavi cember r=R ile kirmizi cember ise r=2cos(θ) ile verilir. Once mor alani hesaplayalim.
R=2cos(θ)⟹θ=arccos(R/2)=β
Toplam mor alan=2(β∫012R2dθ+π2∫β12(2cos(θ))2dθ)=R2β∫0dθ+4π2∫βcos2(θ)dθ
=R2θ|β0+2π2∫β1+cos(2θ)dθ=R2β+2(θ+sin(2θ)2)|π2β
R2β+(2θ+sin(2θ))|π2β
R2β+(π+sin(π)−2β−sin(2β))
Toplam mavi alan ise πR2−(R2β+π−2β−sin(2β)) ve bu mavi alanin π'ye esit olmasini istiyoruz.
πR2−(R2β+π−2β−sin(2β))=π
πR2−(R2β+π−2β−2sin(β)cos(β))=π
πR2−(R2β+π−2β−R√4−R22)=π
R√4−R22+π(R2−2)−(R2−2)arccos(R2)=0
Numerik cozum R=1.251212509359444 verir.