Oncelikle alt ve ust sinirlari bulalim.
Ali dayi 1. gun inegi $xy$ duzleminde $r=1$ uzunlugundaki iple $(x,y)=(1,0)$ noktasina baglasin.(neden orijine degil de o nokta, cunku kutupsal koordinatlari kullanacagim ve cemberin denklemi eger cemberin merkezi orijinde degilse biraz karisik.)
2. gun ise inegi $r=1$ uzunlugundaki iple (ipi uzatmasin) $(x,y)=(0,0)$. Seklimiz su hale gelir. Amacimiz mavi alani hesaplamak.
Biraz geometri bilgisiyle mor alanin $4\Big(\pi\cdot1^2\dfrac{60}{360}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Big)+\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
O zaman mavi alan= $\pi-\Big(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}<\pi$. Yani ipi uzatmazsak 2. gun kirmizi alan kadar yiyemez.
Peki ipi 2. gun 2 katina cikaralim. Seklimiz su olur.
Amacimimiz mavi alani bulmak.
Mavi alan=$\pi2^2-\pi1^2=3\pi>\pi$. Yani 2. gun cok fazla yemis oldu.
O zaman 2. gunku yaricap $R$ olsun, $1<R<2$ olmali. Seklimiz su hale gelir.
Amacimiz mavi alani $\pi$ yapan $R$ yaricapini bulmak.
Mavi bolgenin alani=$\pi R^2$ dir. Mavi alandan mor alani cikarmamiz gerek. Seklimiz $x$ eksenine gore simetrik oldugundan, mavi alni bulmak icin ust kimis bulup $2$ ile carpmamiz yeterli.
Kutupsal koordinatlarda mavi cember $r=R$ ile kirmizi cember ise $r=2\cos(\theta)$ ile verilir. Once mor alani hesaplayalim.
$R=2\cos(\theta)\Longrightarrow \theta=\arccos(R/2)=\beta$
Toplam mor alan=$$2\left(\int\limits_0^{\beta}\dfrac{1}{2}R^2d \theta+\int\limits_\beta^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}(2\cos(\theta))^2d \theta\right)=R^2\int\limits_0^{\beta}d \theta+4\int\limits_\beta^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(\theta)d \theta$$
$$=R^2\theta\Big|_0^{\beta}+2\int\limits_\beta^{\frac{\pi}{2}}1+\cos(2\theta)d \theta=R^2\beta+2\Big(\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\Big)\Big|_\beta^\frac{\pi}{2}$$
$$R^2\beta+\Big(2\theta+\sin(2\theta)\Big)\Big|_\beta^\frac{\pi}{2}$$
$$R^2\beta+\Big(\pi+\sin(\pi)-2\beta-\sin(2\beta)\Big)$$
Toplam mavi alan ise $\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-\sin(2\beta)\Big)$ ve bu mavi alanin $\pi$'ye esit olmasini istiyoruz.
$\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-\sin(2\beta)\Big)=\pi$
$\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-2\sin(\beta)\cos(\beta)\Big)=\pi$
$\pi R^2-\Big(R^2\beta+\pi-2\beta-\dfrac{R \sqrt{4-R^2}}{2} \Big)=\pi$
$\dfrac{R \sqrt{4-R^2}}{2} +\pi \left(R^2-2\right)-\left(R^2-2\right) \arccos\left(\frac{R}{2}\right)=0$
Numerik cozum $R=1.251212509359444$ verir.
