Grup elamaninin tersi

Question

Guzel soru, paylasmak istedim.

$G=\{a\in\mathbb{R}^+|a\neq1\}$ kumesi verilsin. $(G,\cdot),\quad a\cdot b=a^{\ln b}$ islemi ile tanimlanan bir grup olsun. $a^{-1}=?$

Comments

Güzel bir soru.

---

Ayrıca $\phi:G\to\mathbb{R}\setminus\{0\},\ \phi(x)=\ln x$ dönüşümü $(G,*)$ grubu ile $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ grubu arasında bir izomorfizma olur.

Answer 1

Biz '' $G$ grup olsun'' deyince grup $G$ gerçekten de bir grup oluyor mu acaba merak ettim?

Kontrol ettim, birim eleman özelliği sağlanıyor birim eleman $e$ (bildiğimiz Euler sabiti) oluyor, tamam. Şimdi de  birleşme özelliği sağlanıyor mu bir de ona bakalım değil mi?

Her $a,b,c \in G$ için

$(a\cdot b) \cdot c = a^{\ln b} \cdot c = (a^{\ln b}) ^{\ln c} = a^{\ln b \ln c}$   olur.

$a\cdot (b\cdot c) = a\cdot (b^{\ln c}) = a^{\ln (b^{\ln c})} = a^{\ln b \ln c }$   olur.

Dolaysıyla $(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b\cdot c)$ olup birleşme özelliği varmış gerçekten. Şimdi gönül rahatlığı ile $a\in G$ nin ters elemanını araştırabiliriz:

$a \cdot a^{-1} = e = a^{-1} \cdot a$ olmalı.

$a \cdot a^{-1} = a^{\ln(a^{-1})} = a^{-1} \cdot  a= (a^{-1})^{\ln a} = e$ yazılır.

Son eşitlikte her iki tarafın doğal logatirması alınırsa

$\ln (a^{-1}) \ln a = \ln e = 1$ olup $\ln (a^{-1}) = \dfrac { 1}{\ln a}=\log_a e$ 

ve böylece $$a^{-1}=e^{\log_a e }$$ elde edilir.

 

Comments

Hem de değişmeli grup.

---

Haklısınız, logaritma ve taban ilişkisi özelliklerinden değişme özelliği de sağlanıyor.