Biz '' $G$ grup olsun'' deyince grup $G$ gerçekten de bir grup oluyor mu acaba merak ettim?
Kontrol ettim, birim eleman özelliği sağlanıyor birim eleman $e$ (bildiğimiz Euler sabiti) oluyor, tamam. Şimdi de birleşme özelliği sağlanıyor mu bir de ona bakalım değil mi?
Her $a,b,c \in G $ için
$(a\cdot b) \cdot c = a^{\ln b} \cdot c = (a^{\ln b}) ^{\ln c} = a^{\ln b \ln c}$ olur.
$ a\cdot (b\cdot c) = a\cdot (b^{\ln c}) = a^{\ln (b^{\ln c})} = a^{\ln b \ln c }$ olur.
Dolaysıyla $(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b\cdot c) $ olup birleşme özelliği varmış gerçekten. Şimdi gönül rahatlığı ile $a\in G$ nin ters elemanını araştırabiliriz:
$a \cdot a^{-1} = e = a^{-1} \cdot a $ olmalı.
$a \cdot a^{-1} = a^{\ln(a^{-1})} = a^{-1} \cdot a= (a^{-1})^{\ln a} = e $ yazılır.
Son eşitlikte her iki tarafın doğal logatirması alınırsa
$\ln (a^{-1}) \ln a = \ln e = 1$ olup $\ln (a^{-1}) = \dfrac { 1}{\ln a}=\log_a e $
ve böylece $$a^{-1}=e^{\log_a e }$$ elde edilir.