Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

f:RR  bir halka homomorfizması olsun.

f(1)0 ise f nin özdeşlik (birim) (yani xR için f(x)=x) olduğunu gösteriniz.

(Not: Birim elemanlı halkalar arasından homomorfizma tanımına, bazan diğer iki koşula ek olarak, f(1)=1 olma koşulu da eklenir, o durumda, elbette, f(1)0 ek koşuluna gerek kalmaz.)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi
Ben bir çözüm buldum. Siz kaç farklı çözüm biliyorsunuz hocam?

Bu soru olmali gibiydi sanki. Emin de olamadim.

Çözümünü yazar mısın Ozgur.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Birinci adım:

Eğer f(1)0 ise

f(1)=f(11)=f(1)f(1)

eşitliğinin her iki tarafını da f(1)'in (çarpımsal) tersiyle çarparak f(1)=1 elde ederiz.

Ikinci adım:

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)

eşitliğinin her iki tarafına f(0)'ın (toplamsal) tersini eklersek f(0)=0 elde ederiz.

Üçüncü adım:

Birinci adımda elde ettiğimiz f(1)=1 eşitliğini kullanarak her n doğal sayısı için 

f(n)=f(1++1)=f(1)++f(1)=1++1=n

elde ederiz.

Dördüncü adım:

Ikinci ve üçüncü adımı birleştirerek 

0=f(0)=f(n+(n))=f(n)+f(n)=n+f(n)

eşitliğinden f'in tam sayılar üzerinde özdeşlik olması gerektiğini çıkarabiliriz.

Beşinci adım

Benzer yöntemlerle f'in rasyonel sayılarda özdeşlik olması gerektiğini gösterebiliriz. 

Durup düşünme:

Elimdeki fonksiyonun rasyonel sayılarda bir özelliğini biliyorum. Bu özelliği rasyonel sayılardan reel sayılara nasıl genişletebilirim? 

Belki reel sayıların rasyonel sayılar üzerine bir vektör uzayı olduğunu kullanabilirim. Ama o zaman bu özellik reel sayıların ilginç bir özelliği olmaz. Çünkü eğer sadece vektör uzayı yapısını kullanıyorsam, her cisim genişlemesi için bu özelliğin doğru olması gerekir ki bunun doğru olmadığını biliyorum.

Rasyonel sayıların reel sayılarda yoğun olduğunu kullanabilirim. Bunun için süreklilik lazım. Deneyeyim.

Altıncı adım:

Şimdi biraz halka yapısının dışına çıkıyoruz. Diyelim ki ab olsun. Bu durumda ab0 olur ve ab=c2 olacak bir c sayısı bulabiliriz. Bu da

f(ab)=f(c2)=f(c)20 eşitsizliğini ve dolayısıyla f(a)f(b) olması gerektiğini söyler. Demek ki her a,b reel sayı çifti için

abf(a)f(b)

olması gerekir. Buradan da beşinci adımı kullanarak her q rasyonel sayısı için

abqf(a)f(b)f(q)=q

olduğunu çıkarabiliriz. Bu da bize f'in sürekli olduğunu söyler.

Yedinci adım:

Şimdi elimizde limit ve süreklilik kavramları var. Eğer sürekli bir fonksiyon rasyonel sayılarda özdeşlik ise her yerde özdeşlik olmak zorundadır.

(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Çok güzel olmuş.

Süreklilik (hem de düzgün süreklilik) adımını şöyle daha net görebiliriz:

ε>0 sayısı verilsin. 0<δε ve δQ olacak şekilde seçelim.

|ab|<δ olsun. (gerekirse yer değiştirip) ba kabul edebiliriz. (|ab|=ab<δ olur.)

Artanlık (aynı zamanda f 1-1 dir) nedeniyle, f(b)f(a) olur. Bu nedenle :

 |f(a)f(b)|=f(a)f(b)=f(ab)<f(δ)=δε 

Son kısmı, süreklilik kullanmadan şöyle de yapabiliriz:

r bir irrasyonel sayı olsun. n için an<r<bn ve limnbn=limnan=r olacak şekilde iki RASYONEL dizi alalım. f nin artanlığı nedeniyle:

nN için an=f(an)<f(r)<f(bn)=bn oluşundan, (Sıkıştırma Teoreminden) f(r)=r olmak zorundadır.

Son adım, dizi kullanmadan, tamlık özelliği kullanarak,  şöyle yapılabilir:

Önce rR için r=sup{xQ:x<r}=inf{xQ:x>r} olduğunu gösterilir.

r bir irrasyonel sayı olsun.

Artanlıktan ve xQ için f(x)=x oluşundan dolayı 

f(r)inf{xQ:x>r}=r ve 

f(r)sup{xQ:x<r}=r  olur. 

Bu ikisinden f(r)=r olmak zorunda kalır.

Sürekliliği göstermenin başka bir şekli:

f nin her yerde sürekli olduğunu göstermek için aşağıdaki teoremi kullanacağız:

Teorem: f:RR monoton olsun. O zaman aR için limxa+f(x) ve limxaf(x) sonlu olarak vardır ve:

f, a da süreklidir limxa+f(x)=limxaf(x)

olur. (Kısaca: monoton fonksiyonların sadece sıçrama tipi süreksizliği olabilir)

(f artan ise, 

limxa+f(x)=inf{f(x):x>a} ve limxaf(x)=sup{f(x):x<a}  olur)

f bir a sayısında süreksiz olsun. limxa+f(x) ile limxaf(x) arasında (ikisinden de farklı)  ve qf(a) olacak şekilde bir qQ sayısı vardır. Monotonluk nedeniyle, f, q değerinin asla alamaz. Ama f(q)=q idi.Çelişki.

Öyleyse, f, her yerde, sürekli olmak zorundadır.

Son adım için sanırım en kısa çözüm:

Bir r gerçel sayısı için f(r)r olduğunu varsayalım. (Elbette ki r irrasyoneldir)

 O zaman ya r<f(r) ya da f(r)<r olacaktır.

 Her iki durumda da r ile f(r) arasında bir q rasyonel sayısı bulabiliriz.

1. durumda r<q<f(r) olur. Ama, f artan olduğu için f(r)<f(q)=q olur. Çelişki.

2. durumda f(r)<q<r olur. Ama, f artan olduğu için q=f(q)<f(r) olur. Çelişki.

Öyleyse rR için f(r)=r olmalıdır.

R nin bu özelliğine sahip başka halka bulabilir miyiz?

En son çözümü en çok beğendim.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,809 kullanıcı