ispat: $\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} \leq \mid x_1 - y_1 \mid + \mid x_2 - y_2\mid$

Question

öncelikle $a,b \geq 0$ iken $\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}$  eşitsizliğininin doğru olduğunu göstermenin işe yarayabileceğini düşünndüm.

$(\sqrt{a+b})^2=a+b \leq a+2\sqrt a \sqrt b + b=(\sqrt a+ \sqrt b)^2$

öyleyse $\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} \leq \sqrt{(x_1-y_1)^2}+\sqrt{(x_2-y_2)^2}=\mid x_1 - y_1 \mid + \mid x_2 - y_2\mid$

aslında $\mathbb{R}^2$'de $d_2(x,y) \leq d_1(x,y)$ olduğunu göstermeye çalışıyorum sonrasında genelleyeceğim. doğru mu sizce yukarıdaki prosedür? hocamız farklı ispatlamıştı fakat hatırlayamadım.

Comments

Güzel olmuş.

Geometri ile de bu eşitsizliği göstermeye çalış (daha kolay olacak).

---

evet (0,0) merkezli açık yuvarları çizersek kare ve çevrel çember ortaya çıkıyor.

---

"kare"  herhalde dikdörtgen olmalı. Daha basit düşün. 

Sol taraf iki nokta arasındaki uzaklık. Sağdaki terimler de uzaklık mı?

Ek:

$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}  \leq \mid x_1 - x_2\mid + \mid y_1 - y_2\mid$

şeklinde yazılsa daha kolay görülebilir belki