Eğik çizgilere göre simetri nasıl alınır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
72 kez görüntülendi
Doğrusal yada noktasal bir cisim referans alınarak simetrinin nasıl alınacağı bellidir. Noktaya yada çigiye en kısa doğru parçası çizilir ve 180° korunarak aynı mesafe tekrar kat edilir. Peki referans olarak eğik bir cisim alındığında tam olarak nasıl simetri alınır? Veya eğer simetri aynı şekilde dik doğru parçasına göre alınıyorsa bir cismin aynı referansa göre simetrisinin simetrisi kendisine eş olmak zorunda değil midir?
7, Ekim, 7 Akademik Matematik kategorisinde Buğra PİNAR (16 puan) tarafından  soruldu

Böyle bir simetri var olduğunu düşünmek için bir nedenin var mı Buğra PİNAR?

Aslında bununla ilgili bir fikrim yok. Ama olması gerektiğini düşünüyorum çünkü optik ve dalga hareketleri gibi konularda eğik çizgiler üzerinde birçok kanun var ve bunlar bu konu ile açıklanmalı diye düşünüyorum

Düzlemin (veya bir kısmının) her noktasından söz konusu eğriye (yani teğetine) TEK bir dik çizilebiliyorsa, yazdığın (alışılmış) şekilde bir simetrik nokta bulunabilir.

Yani örneklendirecek olursak bir çember yayını referans alıp aynı çemberin merkezinin simetrisini alırsak sonuçta ilk yayımızın mrkez açısı ile eşit merkez açılı ama yarıçapı iki katı olan başka bir çember yayı mı elde ederiz?

Evet.

Eğri çember olunca biraz farklı ama daha güzel bir simetri de var. Çembere göre simetri.

$r$ yarıçaplı bir çember ve içinde merkezden farklı veya dışında bir $P$ noktası verilsin. Merkeze $O $ diyelim.

(Ek: Çemberin noktalarının simetriği yine kendisi olacak)

P yi merkeze birleştiren ışın üzerinde $|OP|\cdot|OQ|=r^2$ olacak şekildeki $Q$ noktasına $P$ nin simetriği diyelim.  ($Q$ nun  simetriği de $P$ olur) 

Bu simetrinin çok ilginç özellikleri var. Örneğin. bir doğruyu, doğruya veya çembere, çemberi de, doğruya veya çembere dönüştürür. Açıların büyüklüğünü korur ama yönünü tersine çevirir. 

(Kompleks Analiz ile bunlar daha kolay görülüyor)

Mesela 120° çember yayına göre çemberin dışında yarıçap kadar uzaktaki bir noktanın simetrisi ne olur? Ayrıca biz çemberin dışında bir nokta alırsak bu noktanın simetrisi verdiğiniz kurala göre başka bir çember oluyor anladïğïm kadarıyla. Bu konuyu biraz daha açık anlatır mısınız?

Yayın uzunluğu önemli değil.

P, çemberin dışında ve çemberden yarıçap (r) kadar uzakta ise $|OP|=2r$ olur. Bu nedenle, $\vec{OP}$ ışını üzerinde $|OQ|=\frac12r$ olacak şekildeki $Q$ (çemberin içindedir) noktası $P$ nin simetriği ($P$ de  $Q$ nun simetriği) olur.

Çemberin içindeki noktaların simetriği dışarıda, dışındaki noktaların simetirği içeridedir.

Buna "inversiyon" deniyor.

Ek: Çemberin, çember veya doğruya dönüşmesinde, dışta (veya içte) olmak gibi bir kısıtlama yok.

(genel olarak tüm Mobius dönüşümlerinde bu özellik var)

İnversiyon, bir Mobius dönüşümü ile (çemberin merkezinden geçen) doğruya göre yansımanın bileşkesi.

Örneğin çemberin bir teğeti, $\frac12r$ yarıçaplı (O dan geçen) bir çembere dönüşüyor.

(aslında "sonsuzda" bir nokta olduğunu varsayıp onu merkeze gittiğini düşünüyoruz, merkezi de sonsuza gönderiyoruz)

...