Dizi Limiti Eşitliği

0 beğenilme 0 beğenilmeme
96 kez görüntülendi

$ \ lims_n=s $ ise  $ \ lims_{n+1}=s $  olduğunu kanıtlayınız.

14, Eylül, 14 Lisans Matematik kategorisinde RAMANUJAN1729 (212 puan) tarafından  soruldu
 dizi limitinin  formal  tanımını kullanmak istediğimde 

 $Tanım:$ $ \forall \epsilon > 0 , \exists N(\epsilon) , \forall n \geq N(\epsilon) , |x_{n} - x| < \epsilon $ 

çok bariz şekilde görüleceğini hissettim ancak bunun yanında  tereddüt ettim 

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin.  Kabulumüzden

$\forall n\geq N(\varepsilon)$ için $|x_n-x|<\varepsilon$ o. ş. bir $N(\varepsilon)$ sayısı var.

Bu sayıdan 

$\forall n\geq K(\varepsilon)$ için $|x_{n+1}-x|<\varepsilon$ o. ş. bir $K(\varepsilon)$ sayısı nasıl üretebiiriz?

$s_{n+1}$ standart yazıma tam uymuyor. Bunun yerine $t_n=s_{n+1}$ yazıp ispatı yapabilirsin. 

Bir $n$ için $|x_{n}-x|<\varepsilon$ ise

($s_n=x_{n+1}$ omak üzere) Hangi $k$ için $|s_k-x|<\varepsilon$ olacağı kesindir?

(Düzeltme: son eşitsizlikte $n$ değil $k$)

...