Question

Sonlu bir $F$ cismi için, $|\text{SL}_2(F)|$ sayısı $6$'ya bölünür.

Answer 1

ilk satira $q^2-1$ sifir olmayan vektor gelir, ikinci satirda da $q$ tane lineerli bagimli olanlari atarsak $q^2-q$ tane eleman gelir. Determinant $q-1$ (sifir disinda kalan elemanlar) ve birebir oldugundan, eleman sayisi eleman sayisi $\frac{(q^2-1)(q^2-q)}{q-1}=(q-1)q(q+1)$ ardasik iki sayi 2ye, 3 sayi 3e bolunur, o zaman bu sayi 6ya bolunur.

Comments

Sercan hocam sana soru yetiştirmek mümkün değil :) Ellerine sağlık.

---

Ne demek, tesekkur ederim. Pazartesi gunu sunum yapacam, arastirmalarimi (bulduklarimi, bulacagimi vaad ettiklerimi vs) sunacam, canim sıkılıyor sunum hazirlarken, kafa dagitma oluyor bana da :)

---

Demek ki $\mathbb{F}_2$ dışındaki bütün sonlu cisimler için $12$'ye de bölünüyormuş $|SL_2(F)|$.

Answer 2

Bir de determinant fonksiyonu yardımıyla soruya biraz daha farklı bir biçimde yaklaşmak mümkün.

$F$ cismimiz $q$ elemanlı olsun. Biliyoruz ki

$$\begin{equation} \text{det}:\text{GL}_2(F)\rightarrow F^{\times} \end{equation}$$

bir grup yapıdönüşümü (group homomorphism) tabii ki, çünkü 

$$\begin{equation}\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)\end{equation}$$

eşitliği her $A,B$ matrisi için sağlanır. Yine biliyoruz ki bu yapıdönüşümünün çekirdeği (kernel) tam olarak $\text{SL}_2(F)$. 

Yapıdönüşümümüz örten (surjective) olduğundan, birinci eşyapıdönüşümü savı (first isomorphism theorem) gereği, 

$$\begin{equation} |\text{GL}_2(F)/\text{SL}_2(F)|=|F^{\times}|\end{equation}$$

eşitliği sağlanır. Eşitlikte adı geçen her nesne sonlu olduğundan, 

$$\begin{equation} |\text{SL}_2(F)|=|\text{GL}_2(F)/F^{\times}|\end{equation}$$

eşitliği de sağlanır.

$|F^{\times}|=q-1$ ve $|\text{GL}_2(F)|=(q^2-1)(q^2-q)$ hesaplamaları ve önceki çözümdeki yorum eşliğinde istenen sonuç elde edilir.

Hatırlatma: $|\text{GL}_2(F)|=(q^2-1)(q^2-q)$ hesabını yapmak için $2\times 2$'lik bir matrisin tekil olmaması (nonsingular) için doğrusal bağımsız (linearly independent) iki satıra sahip olması gerektiği unutulmamalı.