Bu tam olarak bir soru değildir.
A,B iki (sonlu) küme ise:
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B) (s(X):X (sonlu) kümesinin eleman sayısı)
formülü ilkokulda öğretiliyordur sanırım. Bu formülden (kolayca)
s(A∪B∪C)=s(A)+s(B)+s(C)−s(A∩B)−s(A∩C)−s(B∩C)+s(A∩B∩C) ve
benzer formüller, (sonlu sayıda sonlu kümenin birleşimi için) elde edilir.
Bu formülleri, bazı problemleri çözmek için, genelleştirmek istiyoruz.
A, birleşim ve kesişim işlemleri altında kapalı, (kendisi de bir küme olan) bir kümeler topluluğu ve (G,+) bir Abelyen (değişmeli) grup olmak üzere
F:A→ G,∀X,Y∈A için F(X∪Y)=F(X)+F(Y)−F(X∩Y)
eşitliğini sağlayan bir fonksiyon olsun.
O zaman, üçlü,dörtlü,... kesişimler için eleman sayısı için yukarıdaki formüller, F için de (aynı ispatlarla) geçerli olur. Yani (bu özellikteki her fonksiyon için) :
F(A∪B∪C)=F(A)+F(B)+F(C)−F(A∩B)−F(A∩C)−F(B∩C)+F(A∩B∩C)
F(A∪B∪C∪D)=F(A)+F(B)+F(C)+F(D)−⋯+⋯−F(A∩B∩C∩D)
vs doğru olur.
(Aslında koşulumuzu: F(X∪Y)+F(X∩Y)=F(X)+F(Y) şeklinde yazarsak, (G,+) nın yarıgrup olması da yeterli olur)
Bu özellik, aşağıdaki A (kümeler topluluğu) ve (G,+) için sağlanıyor.
1. A sonlu kümelerden oluşuyor, G=Z (+:bilinen toplama işlemi) için F(X)=s(X)
2. A sonlu kümelerden oluşuyor, G=Z2 (+:modüler aritmetik toplama işlemi) için F(X)=¯s(X)=[s(X)] (mod 2 denklik sınıfı)
3. A, R nin tüm sonlu alt kümeleri, G=R, F(X)=X deki elemanların toplamı.
4. A, R nin tüm sonlu alt kümeleri, G=R, F(X)=X deki elemanların karelerinin toplamı.
Aklıma gelen sorular:
Başka değişik örnekler bulabilir miyiz?
3. Örneği kullanarak daha önce bu sitede (yakın bir zamanda) sorulmuş bir problemi çözebilir miyiz?