Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
10.3k kez görüntülendi

Bu tam olarak bir soru değildir.

A,B iki (sonlu) küme ise:

s(AB)=s(A)+s(B)s(AB)  (s(X):X (sonlu) kümesinin eleman sayısı)

formülü ilkokulda öğretiliyordur sanırım. Bu formülden (kolayca)

s(ABC)=s(A)+s(B)+s(C)s(AB)s(AC)s(BC)+s(ABC) ve

benzer formüller, (sonlu sayıda sonlu kümenin birleşimi için) elde edilir.

Bu formülleri, bazı problemleri çözmek için, genelleştirmek istiyoruz.

A, birleşim ve kesişim işlemleri altında kapalı, (kendisi de bir küme olan) bir kümeler topluluğu  ve (G,+) bir Abelyen (değişmeli) grup olmak üzere 

F:A G,X,YA için F(XY)=F(X)+F(Y)F(XY) 

eşitliğini sağlayan bir fonksiyon olsun.

O zaman, üçlü,dörtlü,... kesişimler için eleman sayısı için yukarıdaki formüller, F için de (aynı ispatlarla) geçerli olur. Yani (bu özellikteki her fonksiyon için) :

F(ABC)=F(A)+F(B)+F(C)F(AB)F(AC)F(BC)+F(ABC)

F(ABCD)=F(A)+F(B)+F(C)+F(D)+F(ABCD)

vs doğru olur.

(Aslında koşulumuzu: F(XY)+F(XY)=F(X)+F(Y) şeklinde yazarsak, (G,+) nın yarıgrup olması da yeterli olur)

Bu özellik, aşağıdaki A (kümeler topluluğu) ve (G,+) için sağlanıyor.

1. A sonlu kümelerden oluşuyor, G=Z (+:bilinen toplama işlemi) için F(X)=s(X) 

2. A sonlu kümelerden oluşuyor, G=Z2 (+:modüler aritmetik toplama işlemi) için F(X)=¯s(X)=[s(X)]  (mod 2 denklik sınıfı)

3. A, R nin tüm sonlu alt kümeleri, G=R, F(X)=X deki elemanların toplamı. 

4. A, R nin tüm sonlu alt kümeleri, G=R, F(X)=X deki elemanların karelerinin toplamı.

Aklıma gelen sorular:

Başka değişik örnekler bulabilir miyiz?

3. Örneği  kullanarak daha önce bu sitede (yakın bir zamanda) sorulmuş bir problemi çözebilir miyiz?





Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 10.3k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Düzlem bölgelerinin alanı ve cisimlerin hacmi de benzer özelliğe sahiptir.

A: R nin (hepsinin ortak bir noktası olan) kapalı sınırlı aralıkların bir topluluğu ve F:AR, her aralığı aralığın uzunluğuna gönderen fonksiyon olsun. 

F([a,b])=ba1dx olur.

Aslında bu tür F ler (in hemen hemen tümü) bir çeşit integraldir.

X sonlu bir küme, (G,+) bir abelyen grup ve f:XG fonksiyonu için Xf(x)dx=xXf(x) olarak tanımlarsak:

1. Sonlu kümelerin eleman sayısı fonksiyonu F:AN de

s(X)=X1dx

2. A, R nin sonlu alt kümeleri topluluğu ve F:AR, F(X)=X in elemanlarının toplamı da böyle bir integral olarak yazılabilir. F(X)=Xxdx olur.


(6.2k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,900 kullanıcı