$ \left| x+5\right| +\left| x-3\right| +\left| x+7\right| = p $ , p gerçel sayısı kaça eşittir ?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
143 kez görüntülendi

$ \left| x+5\right| +\left| x-3\right| +\left| x+7\right| =p $ denklemin tek çözümü olduğuna göre p gerçel sayısı kaçtır ?

Kritik noktaları yerine koydum x = -5 için sonuc 10 , -7 için  sonuc 12 , x=3 için 18 çıktığı açık fakat bundan sonra ne yapacağımı bilemedim yardımcı olur musunuz ?

31, Temmuz, 31 Orta Öğretim Matematik kategorisinde mbugday (40 puan) tarafından  soruldu
1, Ağustos, 1 mbugday tarafından düzenlendi

Düzeltme:

Kritik değerler arasında fonksiyonun daha basit bir ifadesini bulup, artan veya azalan olduğunu belirleyebiliyor musun?

$-5$ için 12 çıktığından emin misin?

Fonksiyonun    $(-\infty,-7)$  aralığında azalan,  $(-7,-5)$  aralığında yine azalan ve  $(-5,3)$, $(3,\infty)$ aralığında artan. $(-5,10)$  mutlak minumum noktası. Fonksiyon sabit bir $p$ sayısına eşit olmuyor ama.

Mutlak minimuma kaç kez erişiyor?

hocam haklısınız -5 için hatalı sonuc bulmuşum . Mutlak minimum 10 değil midir ?

İpucu: aşağıdakileri göz önünde bulundurun:


1) $x \leq -7$


2) $-7 <x \leq -5$


3) $-5 < x \leq 3$


4) $x \geq 3$.



Sadece bir kez. Mutlak minumum yerine "minumum" demem gerekirdi.

Öyleyse soru (başka bir değeri daha sadece bir kez almıyorsa) çözülmüş olur mu? (Ara Değer Teoremi işe yarayabilir)

(Niçin "mutlak minimum yerine minimum"  @alpercay?)

Öyleyse:

$\left| x+5\right| +\left| x-3\right| +\left| x+7\right| = 10$ denkleminin tek çözümü varmış.

Şimdi soru şu: 10 dan başka bu özellikte sayı var olabilir mi?

Hocam şunu diyebilir miyiz ? Mutlak değerli bir ifadenin tek bir çözümü var ise sonuç mutlak minimumdur.

Böyle kolaycılığa kaçmayalım bence.

Mutlak minimum demeye gerek yok çünkü fonksiyonun lokal minumum değerleri mevcut değil (azalan ve artan olduğu iki aralık var sadece). Fonksiyon $[10,\infty)$ görüntü kümesindeki $10$ dan başka her değeri iki kez alıyor (bire bir değil). Bu noktadan önce azalan, sonrasında artan olduğundan bu özellikte başka sayı olamaz. Ek olarak $10$ dan küçük bir sayı için bu denklemin çözümü olmadığı da açık.

...