kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılabilir ?

Question

$ a,b\in \mathbb{Z} ^{+},EKOK\left( a,b\right) =10^{4} $ olduğuna göre kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılabilir ? (Cevap : 81 )

$ 10^{4}=2^{4}\cdot 5^{4} $ ayırarak başladım. 25 adet pozitif bölen sayısı olduğunu biliyoruz. 

 $ EKOK\left( 10^{4},x\right) =10^{4} $ , x 25 değer alabilir ve bu yer değiştirebilir dedim. Elimde 50 tane sıralı ikili var.

Geriye kalan 30 taneyi nasıl bulabilirim ?

$ 10^{4}=2^{4}\cdot 5^{4} $ , üstleri 2 ile çarpıp 1 ekleyerek bulunabilen sıralı ikili formülü mevcut fakat bunu kullanmadan nasıl yapabilirim ?

Comments

$a=2^4\cdot5^m\ (m<4),\ b=5^4\cdot2^n\ (n<4)$ ikilileri de var.

(Senin bulduklarının sayısı 50 değil 49, çünki (sadece) $(10^4,10^4)$ ikilisinde yer değiştirince aynı ikiliyi buluyoruz.)

---

Burada ekok (a,b)=2^4.5^4 için birinci çarpanları analiz ettiğimizde a için 2^0  2^1 2^2  2^3  yazıldığında b için 2^4 bulunmalı  (4 durum)

                   a için 2^4 seçilirse b için 2^0  2^1  2^2  2^3  2^4  (5 durum) yani toplamda birinci çarpanlar için 9 durum söz konusu

                  İkinci çarpanda aynı şekilde analiz edilirse 9 durumda buradan gelir sonuç olarak birinci çarpanlar için 9 ikinci çarpanlar için 9 pozisyon olduğu bununda 81 farklı durumu getirdiğini görebiliriz.Burada dikkat edilirse asal çarpanlar ayrı ayrı incelenirken üst ve üst +1 geleceği kestirilebilir yani genel formül 

Ekok (a,b)=p^x.q^y için  (2.x+1).(2.y+1) tane sıralı ikili olacağını anlayabiliriz

---

GürkanCAN konunun mantığını biraz daha açıklayabilirmisiniz. Örneğin ekok(a,b)=90 için evet formülle 45 çıkıyor. Ancak üç asal çarpan çıkıyor bu durumda mantıken nasıl çözüm yapılabilir?