Dikgen Kirişler Dörtgeni

Question

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninin $AC$  ve   $BD$  köşegenleri $E$ noktasında dik kesişsinler. Dörtgenin çevrel çember yarı çapı $r$  olmak üzere

$$4r^2=AE^2+DE^2+EB^2+EC^2$$   olduğunu gösteriniz.

İlgili soru

Answer 1

Sorunun çözümünü harflendirme detayına girmeden yapmaya çalıştım.

 

Comments

Çözümünüzü resim kullanmadan lateks ile paylaşabilir misiniz? 

Answer 2

$ABCD$ kirişler dörtgeninin merkezi $O, [AC]$ ile $[BD]$ kirişleri merkezin dışındaki bir $E$ noktasında dik kesişsinler. $E$ noktası ile $O$ noktası çakışık olursa ispat çok kolay olur. 

$|AE|=x,|EC|=y,|BE|=z,|ED|=t$ birim ve $[AC]$ 'nin orta noktası $M$, $[BD]$ 'in orta noktası $N$ olsun. Ayrıca $x>y,t>z$ olduklarını varsayalım. 

$E$ noktasının çembere göre iç kuvvetinden ; $x.y=z.t\rightarrow xy-zt=0...............(1)$  olur.

$|MA|=\frac{x+y}{2}$, $|EN|=|MO|=\frac{t-z}{2}$ olacaktır. $AMO$ dik üçgeninde Pisagor teoreminden

$|AO|^2=|OM|^2+|MA|^2$

$r^2=(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{t-z}{2})^2$

$4r^2=x^2+y^2+2xy+t^2+z^2-2yz$

$4r^2=x^2+y^2+t^2+z^2+2(xy-yz)$

Son eşitlikte $(1)$ kullanılırsa istenen;

$4r^2=x^2+y^2+t^2+z^2$ elde edilir.