Cebirsel tamsayılar halkasında hiç indirgenemez eleman var olmadığını gösterin.

Question

Bir tamlık bölgesinde tersi olmayan ama iki elemanın çarpımı olarak yazıldığında, bu çarpanlardan biri tersinir oluyorsa, o elemana indirgenemez eleman denir.

Bir $z\in\mathbb{C}$  katsayıları tamsayı ve başkatsayısı 1 olan olan bir polinomun kökü ise $z$ bir cebirsel tamsayıdır denir. Bu sayıların bir tamlık bölgesi oluşturduğu, ama cisim oluşturmadığını göstermek zor değildir.

Bu halkada hiç bir indirgenemez eleman olmadığını gösteriniz.

(http://matkafasi.com/120537/indirgenemez-eleman-ile-ilgili-bir-soru  ve 

http://matkafasi.com/120047/dereceli-polinomu-indirgenemez-polinomun-varligini-gosteriniz?show=120047#q120047

 soruları ile ilgili)

Comments

Cevabımı düzenledim. *

Answer 1

(Cevapta hata var).  Ben de ek olarak hatayı sorayım. :)

Bu tarz (sıfır olmayan) bir $z$ elemanı derecesi  $n$  ve başkatsayısı $1$ olan bir $P$ polinomunun kökü olsun. Bu durumda $$1=-z^nP(1/z)+1$$ olur ve sağ taraf $z$ parantezi alınabilir.

---------- Yeni Cevap ---------

$z$ bir cebirsel tam sayı ise $P(T^2)$ polinomunun bir kökü olan $\beta:=z^{1/2}$ de bir cebirsel tam sayı olur ve de doğal olarak bir $\beta$ cebirsel tam sayısı için $$z=\beta\cdot \beta$$ olduğunu elde ederiz.