SSCB 1963 Sorusu

0 beğenilme 0 beğenilmeme
121 kez görüntülendi

PROBLEM: Birbirinden Farklı pozitif reel sayılardan oluşan $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_{100}\}$ kümesinin boş olmayan her bir alt kümesinin elemanları toplanarak $2^{100}-1$ tane toplam elde ediliyor. En az kaç farklı toplam elde edilebilir?

7, Mayıs, 7 Orta Öğretim Matematik kategorisinde emresafa (152 puan) tarafından  soruldu

Küme elemanlarını  $a_1=1,a_2=2,a_3=3,...,a_{100}=100$ olarak alınırsak(ki bu sorunun verilerine aykırı değil) şöyle düşünebiliriz.

Oluşturulabilecek $2^{100}-1$ adet alt kümelerin her birinin elemanları toplamını(tabi aynı olanları aynı harfle göstermek üzere) $s_1,s_2,s_3,...,s_{100}$ olarak düşünürsek o zaman ;

$1<s_1<s_2<s_3<...<s_{100}<5050$  olacaktır. Bu da $5050$ adet farklı sonucu ifade eder. 

Ancak tam sayı olmayan pozitif rel sayılar için yaklaşım daha farklı olsa gerek

Reel sayılarla sorulmuş olsa da bu sorunun da cevabı $5050$. Ortak bir yaklaşım olabilir belki.

Verilen cevap 5050 gerçekten mi? 

Bu soruyu pozitif kisitlamasi olmadan gercel sayilar icin dusunsene Emre, olur mu? Sana biraktigimdan ben cozmuyorum :)

Su tarz bir onek gibi olacagini dusunuyorum. {0,1}, {-1,0,1},  {-1,0,1,2}, {-2,-1,0,1,2}.

Negatif ve pozitiflik ayri ayri bakildiginda ayni kapiya geliyor. Kumede bi denge saglanmali. 

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Genel bir $n$ pozitif tam sayısını ele alalım. Elemanların artan bir şekilde sıraladığımızı düşünelim. 


Tek elemanı $n$ tane farklı toplam gelir. İki elemanlı için $n$. elemanın yanına ekleyeceğimiz diğer elemanlar ilk toplamlardan farklı olur. Buradan en az $n-1$ toplam gelir. Aynı şekilde $n$. ve $(n-1)$. elemanlarla toplayacağım üçüncü bir eleman ile elde edeceğimiz toplam diğerlerinden büyük olacağından $n-2$ tane farklı toplam elde ederiz. Bu şekilde toplamda $1$'den $n$'e kadar olan sayıların toplamı alt sınır olur. Bu alt sınırı $\{1,\ldots,n\}$ kümesi sağlar. 


Ek: Eğer elemanları $2$'nin kuvvetleri ile oluşturursak tüm toplamlar farklı olur. Taban aritmetiği ile bunu biliyoruz. Bu küme de üst sınırı sağlar. 

11, Mayıs, 11 Sercan (23,968 puan) tarafından  cevaplandı
12, Mayıs, 12 emresafa tarafından seçilmiş
...