$\left(\dfrac{1}{5}+1\right)\left(\displaystyle\prod_{k=1}^\infty \left(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2k}+1\right)\right)$

Question

$\left(\dfrac{1}{5}+1\right)\left((\dfrac{1}{5})^2+1\right)\left((\dfrac{1}{5})^4+1\right)\left((\dfrac{1}{5})^6+1\right)\cdots$ sonsuz çarpımının değeri kaçtır?

Ben $\dfrac{1}{5}$ yerine $x$ koyup çözmeye çalıştım. Çözemedim.

Comments

$\displaystyle\prod_{k=1}^\infty \left(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2k}+1\right)$ in bir kaç terimim çarpmayı denedin mi?

---

$\dfrac{1}{5}=x$ deyip denemiştim hocam.

$(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^6+1)\cdots$ çarpımında en soldaki 3'ünü çarptığımızda

$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7$ elde ediliyor bunu $\dfrac{x^8-1}{x-1}$ şeklinde yazabiliyoruz ama

ilk dört terimi (veya daha fazlası) çarptığımızda bazılarının katsayıları 1'den farklı olabiliyor. Mesela

Parantezlerden sırasıyla $1, x^2, x^4, 1$ ve $1, 1, 1, x^6$ alırsak $x^6$ terimini buluyoruz ve katsayısı 2 oluyor sonuç olarak 3 parantezde sonuca uyguladığımı burada uygulayamıyorum.

---

Soru, $\displaystyle\prod_{n=1}^\infty\left(\left(\frac15\right)^{2k}+1\right)$ yerine $\displaystyle\prod_{n=1}^\infty\left(\left(\frac15\right)^{2^k}+1\right)$ şeklinde olabilir mi?

(O zaman kolay oluyor.)

---

Evet o şekildeymiş

Şimdi tümevarımla çözebildim.